長圓管之穩態流（Steady Flow in a Long Circular Tube）

§2.3 通過圓管之流動 (Flow Through a Circular Tube) [部分]

Revised: 2022/1/19

Hagen-Poiseuille equation (哈根佰意索意方程式) (Eq. 2.3-21) 結合毛細管黏度計 (capillary viscometer) 的實驗數據，即館質量流率 w 和修正壓力差 𝒫₀ - 𝒫_L (modified pressure difference)，可決定牛頓流體的黏度值 μ。

     (2.3-21)

以下結論 Hagen-Poiseuille equation 推導過程之所有假設。

(a) 流動屬層流 (laminar low)，即雷諾數 Re 必需小於約 2,100。
(b) 流體密度為定值，即不可壓縮流 (incompressible flow) 。
(c) 流動達穩態 (steady state)，即不隨時間而改變。
(d) 流體為牛頓流體 (Newtonian fluid)，故 Eq. 2.3-14 有效。

(2.3.14)

(e) 端點效應 (end effects) 被忽略。事實上，流體進入管子入口後，需流經一段入口長度 L_e (entrance length; L_e = 0.035D Re) ，方能形成穩態的流速分佈曲線 (抛物線)。如果入口區域過大 (entrance region) 而被包括在我們有興趣的毛細管量測段，則必需引入修正。假設管徑 D = 1 mm，Re = 1,000，則 L_e = 35 mm = 3.5 cm。壓力差或質量流率的修正比例 (fractional correction) 不會超過 L_e/L (如果，L > L_e)。
(f) 流體的行為屬連續體 (continuum)。除了對極稀薄氣體或極細的毛細管，連續體是個合理的假設。於上述兩極端狀況，分子的平均自由徑 (mean free path) 相當於管徑 (the "slip flow region") 或遠大於管徑 (the "Knudsen flow" or "free molecule flow" region)。
(g) 管子無壁滑效應 (no wall slip)，所以流體在管壁處 (r = R) 的流速為零 (B.C. 2)。對於純流體 (pure fluids) 在 (f) 的假設下，此為非常合理的假設。

[註: 事實上，除了上述 (a)–(g) 外，其它的假設亦包括 (1) 黏度並不具壓力相依性 (no pressure dependence of the viscosity)、(2) 流體為恆溫 (isothermal)]

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§2.3 圓管之流體流動 (Flow through a Circular Tube)

A. 問題描述

流體在圓管的流動經常出現在物理、化學、生化和工程領域，管內的層流 (laminar flow) 可透過動量平衡與圓柱座標之結合分析之。 於 Fig. 2.3-1，流體受壓力差和重力雙重引響而往下流動。這裡假設管長遠大於管徑 (L >> R)，故端點效應 (end effects) 的影響可忽略。

(i) 流體: 密度 、黏度為定值的流體，即不可壓縮的牛頓流體。
(ii) 邊界條件:
B.C. 1，在 r = 0，剪切應力為有限值；
B.C. 2，在 r = R，速度 v_z = 0。
(iii) 分析: 我們假設流體速度 v_z = v_z (r)、v_r = v_θ = 0，壓力 p = p(z)。由下方 Table 1 可知，只有兩個應力分量相等 τ_rz = τ_zr，且不為零。

(1)

此題求解穩態下，層流的流速分佈等性質。

Figure 2.3-1 對垂直圓管進行 z 方向動量之平衡

Table 1 直角座標系下之牛頓黏度定律

B. 結果討論

如 Fig. 2.3-1，我們進行 z 方向的動量平衡

(2)

Equation 2 依序考慮對流、分子輸送和重力對殼層內流體之影響。求解後得以下結果 (1) 至 (3)。

(1) 動量通量分佈

(3)

此線性結果繪於 Fig. 2.3-2，動量通量的值在徑向 (r) 呈線性增加 ，或者是說，在 r = R，管壁剪切力 (wall shear stress) 有最大值。

Figure 2.3-2 圖管之動量通量與流速分佈曲線

(2) 速度分佈在徑向 (r 方向) 為抛物曲線

(4)

速度分佈曲線如 Fig. 2.3-2 所示。速度梯度為 (velocity gradient)

dv_z/dr = - (P₀-P_L)r/(2μL)     (4.1)

|dv_z/dr| 的最大值發生在管壁處 (r = R)，且速度梯度自管壁 (r = R) 線性遞減至管中心 (r = 0)，故管流產生的是非均勻流場 (inhomogeneous flow)，反觀，流體於平行平板的速度梯度為定值，故產生的是均勻流場 (homogeneous flow)。

(3a) 最大的速度 v_z,max 發生在管子中心軸 (r = 0)

(5)

(3b) 平均速度 <v_z> 等於總體積流率除以截面積

(6)

平均速度為最大速度的二分之一。

(3c) 質量流率 w 等於平均流速 (Eq. 5) 乘上截面積再乘上流體密度 ρ

(7)

這是相當有名的結果，稱之為 Hagen-Poiseuille 方程式。結此式結合毛細管黏度計 (capillary viscometer) 的實驗數據，即質量流率 w 和修正壓力差值 𝒫₀ - 𝒫_L  (modified pressure difference)，可決定牛頓流體的黏度值。體積流率 Q 則為 w/ρ。

(3d) 流體作用於管子濕表面 (wetted surface) 的黏滯力 F_z (z 方向分量)，等於剪切力 τ_rz 對整個濕面積 (wetted area) 進行積分，即

(8)

Equation 8 告訴我們，黏滯力 F_z 會被淨壓力 (net pressure force) 和重力 (gravitational force) 所抵消。此結果也可透過對管內流體進行簡單的力平衡求得。

很多實驗結果已證實，只要系統的雷諾數 (Reynolds numbers) 低於約 2,100，上述流體流動問題的假設 (v_z = v_z(r) 和 p = p(z)) 和計算結果都是相當可靠的。然而，當 Re > 2,100，流體的流動很容易因為管壁粗糙度或震動影響，使層流 (laminar flow) 過渡成為紊流 (turbulent flow)。對圓管而言，雷諾數的定義為

(9)

其中 D (= 2R) 是管子直徑。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§10.2 具電熱源的熱傳導問題 (Heat Conduction with an Electrical Heat Source)

我們考慮的第一個系統是圓截面具半徑 R 和導電率 (electrical conductivity) k_e ohm^-1cm^-1 的電線 (electrical wire)，通過這條線的電流密度 (current density) 為 I amp/cm²。電流的傳輸是一個不可逆過程，所以一些電能將被轉換成熱 (熱能)，每單位體積之熱生成率可表示成

(10.2-1)

S_e 這個熱源來自於電耗散 (electrical dissipation)，這裡我們假設電線溫度上升量不是很大，所以毋需考慮熱或電傳導率 (thermal or electrical conductivity) 之溫度相依。線的表面維持在溫度 T₀。我們現在介紹如何得到線內部之徑向溫度分佈。

對於能量平衡，我們將厚度 △r 和長度 L 的圓柱殼視為一個系統；見 Fig. 10.2-1。因為沒有流動的流體，故此系統的速度為零 (即 v = 0)，唯一對能量平衡的貢獻為

(10.2-2, 3, 4)

q_r 這個符號表示 "在 r 方向的熱通量"，而 (∙∙∙)|_r=r+Δr 表示 "在位置 r+Δr 估算"。特別注意我們進、出定義為正的 r 方向。

我們把這些量代入 Eq. 10.1-1 的能量平衡，除以 2πLΔr 並 Δr 讓趨近於零

(10.2-5)

表示式左側是 rq_r 對 r 的一階導數，因此 Eq. 10.2-5 變成

(10.2-6)

這是能量通量的第一階微分方程式，可積分得到下式

(10.2-7)

因為以下這個邊界條件，積分常數 C₁ 必需是零

B.C. 1:     r = 0 ， r 方向的熱通量 q_r 不是無窮大     (10.2-8)

因此，熱通量分佈最後的表示式為

(10.2-9)

這說明熱通量隨 r 線性增加。

我們接著接傳立葉定律 q_r = -k(dT/dr) 代入 Eq. 10.2-9，並得到

(10.2-10)

當 k 被假設為定值，這個一階微分方程式可被積分得到

(10.2-11)

積分常數可由以下邊界條件決定之

B.C. 2:     r = R，電線表面溫度維持在 T = T₀     (10.2-12)

因此，C₂ = (S_eR²/4k) + T₀。Equation 10.2-11 變成 

(10.2-13)

Equation 10.2-13 是自電線軸中心至位置 r 之溫度上升抛物線函數 (在 r = 0，溫度最高；r = R，溫度最低，為 T₀)。

一但知道溫度和熱通量分佈後，各種關於系統的訊息均可得到
(i) 溫度上升量之最大值 (maximum temperature rise)，發生於金屬電線的中心軸 (在 r = 0)

(10.2-14)

(ii) 溫度上升量之平均值為 (average temperature rise)

(10.2-15)

因此，平均截面的溫度上升量為最大溫度上升量之一半。

(iii) 電線表面 (r = R) 的熱流出率 (heat outflow) (對於線長 L)

(10.2-16)

這個結果並不意外，因為在穩態時，體積 πR²L 內因電耗散 (electrical dissipation) 生成的熱必需經由表面 (r = R) 離開。

當讀者歷經上述推導過程，可能會有一種已經看過的感覺 (the feeling of déjà vu)。被加熱線的問題和圓管黏滯流動的問題之間有明顯的相似性 (similarity)，唯符號有點不同

也就是當這些量被適當選擇，兩個問題的微分方程式和邊界條件是相同的，且這些物理過程 (physical processes) 被稱之為類同的 (analogous)。並非所有動量傳遞的問題都有類比 (analogs) 於能量和質量輸送。然而，當這樣的類比被找到後，它們可能會非常有用，因為可以自一個領域接管已知結果，然後應用在另一個。例如，對於一個在傾斜平面之液體薄膜黏滯流動(viscous flow in a liquid film on an inclined plane)，讀者應該可以找到其熱傳導的類比。

在電工業，有很多熱傳導問題的例子。電機械 (electrical machinery) 內溫度上升之最小化將延長絕緣壽命 (insulation life)，例如，使用內部液體冷卻定子導體 (liquid-cooled stator conductors) 在非常大的交流發電機 (AC generators)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§10.4 黏滯熱源之熱傳導問題 (Heat Conduction with a Viscous Heat Source)

接下來我們考慮一個不可壓縮牛頓流體在兩同軸圓柱 (two coaxial cylinders) 間之流動；見 Fig. 10.4-1。內、外圓柱的表面分別維持在 T = T₀ 和 T = T_b。我們可以預期 T 將僅是 r 的函數。

Figure 10.4-1 兩同軸圓柱，外圓柱等角速度旋轉，內圓柱靜止

當外圓柱旋轉，每一圓柱殼流體 (each cylindrical shell of fluid) 摩擦 ("rubs" against) 一個相鄰的殼流體 (adjacent shell of fluid)，這種相鄰層流體間的摩擦力產生熱，也就是，機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)。來自於這種黏滯耗散 (viscous dissipation) 的體積熱源 (volume heat source) 可以被標誌為 S_v，我們待會將看到，當我們使用合併的能量通量向量 e 時 (在第 9 章末已定義)，S_v 自動出現在殼平衡。

如果狹縫寬度 b 相較於外圓柱半徑 R 是夠小的，則這個問題可以用 Fig. 10.4-2 比較簡化的系統來近似求解，也就是，我們乎略曲率效應 (curvature effects) 並使用直角座標求解此問題。所以速度分佈為 v_z = v_b(x/b)，其中，v_b = ΩR。

Figure 10.4-2 雙平板系統，上板等速移動，下板靜止

我們現在針對一個厚度 △x、寬度 W 和長度 L 的殼進行能量平衡，因為流體在運動，我們使用如 Eq. 9.8-6 的合併能量通量向量，然後這平衡可寫成

(10.4-1)

除以 WL△x 並讓殼厚度 △x 趨近於零可得

(10.4-2)

這個方程式積分可以得到

(10.4-3)

因為我們不知道 e_x 的任何邊界條件，我們無法在這時估算積分常數。

我們現在將 e_x 的表示式 (Eq. 9.8-6) 代入。因為 x 方向的速度分量是零，(ρv²/2 + ρU^{^})v 這個項可以被丟棄。根據傅立葉定律 q 的 x 分量是 -k(dT/dx)，[τ∙v] 的 x 分量是 τ_xxv_x + τ_xyv_y + τ_xzv_z (見 Eq. 9.8-1)，因為速度唯一不為零的分量是 v_z，且根據牛頓黏度定律 τ_xz = -μ(dv_z/dx)，[τ∙v] 的 x 分量為 -μv_z(dv_z/dx)，經整理後，Eq. 10.4-3 變成

(10.4-4)

當代入線性速度曲線 v_z =v_b(x/b) ，可得

(10.4-5)

在上式中，我們可以看出 μ(v_b/b)² 是每單位體積黏滯熱生成率 S_v (the rate of viscous heat production per unit volume)。

當積分 Eq. 10.4-5，我們得到

(10.4-6)

兩個積分常數可由以下兩邊界條件決定

B.C. 1:     at x = 0，T = T₀     (10.4-7)

B.C. 2:     at x = b，T = T_b     (10.4-8)

對於 T_b ≠ T₀，最後可以得到

(10.4-9)

此處，Br = μv_b²/k(T_b-T₀) 是無因次的 Brinkman 數，它是衡量黏滯耗散項 (viscous dissipation term) 重要程度的指標。當 T_b = T₀ 時，Eq. 10.4-9 可寫成

(10.4-10)

最大溫度位在 x/b = 1/2 + (1/Br)。

如果溫度上升的程度很可觀，則必需考慮黏度對溫度的相依性。這將在 Problem 10C.1 討論。

黏滯加熱項 S_v = μ(v_b/b)² ([=] J/m³.s) 可以用以下的論證來理解，在 Fig. 10.4-2 的系統，作功速率等於施予上板的力乘以上板移動速度，即 (-τ_xzWL)(v_b)。若將作功速率除以體積 WLb，可得單位體積之能量增加速率 (-τ_xzv_b/b) = μ(v_b/b)²。這個能量完全以熱的形式出現，因此為 S_v。

在大部分的流動問題，黏滯加熱並不重要；然而，如果速度梯度很大時，則黏滯加熱不可忽略。黏滯加熱需被加以考量的流體流動例子包括，(i) 潤滑液 (lubricants) 於快速移動零件之間；(ii) 高分子熔體 (molten polymers) 於高速擠出成型 (extrusion) 的模具內；(iii) 極高黏性流體於高速黏度計 (high-speed viscometers)；(iv) 當衛星或火箭再進入地球大氣層時，空氣於邊界層之流動。前兩個例子又特別複雜，因為很多的潤滑液和塑膠熔體為非牛頓流體。非牛頓流體的黏滯加熱可見 Problem 10B.5。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).