§4.4 非恆溫流動問題 (Nonisothermal Flow Problems)

到目前為止，我們處理的流動問題都是假設溫度是不變的 (恆溫)，但是在很多高分子加工應用 (polymer processing applications) 和潤滑系統 (lubrication systems)，溫度隨位置和時間的變化很顯著，因此溫度變化不能被忽略。在製造塑膠物件時，我們通常先熔化塑膠顆粒 (plastic pellets)，然後對熔融材料進行一序列加工操作，最後材料被冷卻以得到成品。很明顯地，熱傳和相改變扮演很重要的角色。在高速加工操作，例如，擠出 (extrusion) 和潤滑問題，黏滯加熱 (viscous heating) 造成的溫度上升很顯著 (因為高分子液體的高黏度和很大的速度梯度)，因此，黏滯加熱項必需被包括在溫度的變化方程式 (the equation of change for temperature)。再者，因為高分子的低熱傳導率 (low thermal conductivity)，黏滯加熱造成的溫度增加可以很可觀且不均勻。因為高分子液體的熱不穩定性 (thermal instability)，在高分子流動問題中，黏滯加熱效應和局部溫度的可靠估算就顯得特別重要。如果熱點 (hot spots) 於加工管線發生，將造成化學裂解 (chemical degradation)。欲描述非恆溫流動，不僅需要聯立解出三個變化方程式 (連續、運動和能量方程式)，一般也需要考慮所有物理性質的溫度相依性 (黏度、熱傳導率、密度、熱容量)；對於高分子液體，黏度的剪切速率相依性不可以被忽略。

在這裡，Equations 4.4-1 至 3 是一開始要討論的熱傳和流體流動方程式，它們和 Table 1.2-1 很相似:

(1.1-13)

從 Eq. 1.1-13 得到 Eq. 4.4-3 時，已經假設 U^{^} = U^{^}(p, T)，即假設單位質量內能 U^{^} 與任何動力學的量 (kinematic quantities) 沒有相依性，例如，應變和應變率。這是一個在所有熱傳計算的標準假設，雖然此假設被視為非常合理，但目前並沒有關於它的完整實驗研究。

Table 4.4-1 列出 Eqs. 4.4-1 至 3 經過比例化、無因次化後的型式 (scaled, dimensionless forms)，在表中，能量方程式中的對流項被 Péclet number (Pé = ρC_p^{^}HV/k) 比例化。因為高分子熔體和高濃度溶液的熱傳導率很低，因此，在典型的非衡溫流動問題中 Pé >> 1，表示熱被對流的速度比被傳導來的快。黏滯加熱的項被熱生成數 Gn 所比例化，Gn 的型式取決於問題的特徵溫度差 △T₀ 之選擇 (characteristic temperature difference)。如果 △Tprocess << △T_rheol，則可合理選擇特徵的 △T₀ 做為 △Tprocess，在此情況下，Gn number 是第一章介紹的 Brinkman number (在這裡 μ 被 η⁰ 所取代，η⁰ 是參考溫度和剪切速率的黏度)。如果 △Tprocess 相較於 △T_rheol 並不是很小，最好使用後者當作 △T₀，然後 Gn 變成 Nahme-Griffith number (Na)。

接著我們檢視出現在變化方程式的流體性質及其溫度相依性。Table 4.4-2 提供數個商業化熔融高分子的數值，包括熱傳導率 k、單位質量熱容量 C_p^{^}、密度 ρ。可以發現 k 值都落在一個非常窄的範圍 (0.1-0.3 W/m∙K)。然後 Table 4.4-3 提供 k、C_p^{^}、ρ 的溫度相依性資訊。在大部分的流動和熱傳計算，我們假設流體的熱傳導率、熱容量、密度並不隨溫度或壓力顯著變化。熱傳導率為定值的假設不會是太大的問題，因為 k 並不隨溫度改變太明顯，也不隨速度梯度改變太大。此外，似乎毋需使用二階張量取代純量的熱傳導率，去解釋非均向熱傳導 (nonisotropic heat conduction)。固定密度的這個假設，表示我們的討論將侷限在強制對流 (forced convection) 且自由對流 (free convection) 被忽略。

雖然在很多的計算中， 假設 k、C_p^{^}、ρ 不隨溫度改變是很合理的，但對於在廣義化牛頓流體模型的參數卻不然，例如，冪次律參數 m 和 n 的溫度相依性之經驗式為

(4.4-4)

(4.4-5)

其中，T₀ 是參考溫度，m⁰ 和 n⁰ 是在該溫度的參數值。常數 A 和 B 是特徵溫差的倒數，可由流體的實驗數據決定。由 Table 4.1-2 可知，參數 m 是溫度的強函數。B 通常很小，因此假設 n 是常數很合適。

另一方面，在工程的文獻中，有不少非恆溫流動系統的解析解 (假設物理性質為常數)，這些結果在數量級的估算 (order-of-magnitude estimates) 非常有用，以及在物理性質不具溫度相依性的極限下可用來確認電腦程式。我們本節的後面將提供幾個解析解，此外，也提供兩個 Nusselt numbers 計算值的表格，一個是管子 (tubes; Table 4.4-4)，一個是薄槽縫 (thin slits; Table 4.4-5)。在 Examples 4.4-1 和 2，我們推導圓管的固定壁溫流入問題 (constant-wall-temperature entries for circular tubes)。

Reference: Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).