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網誌作者近期國際期刊論文發表 (Recent SCI Journal Articles by the Blogger)

  Extensional Rheology of Linear and Branched Polymer Melts in Fast Converging Flows 線型、分支型高分子融體於高速收縮流之拉伸流變 Rheol. Acta 62 , 183–204 (2023)...

2021年4月30日

牛頓流體之剪切黏度和拉伸黏度 (Shear Viscosity and Elongational Viscosity of Newtonian Fluids)

對於不可壓縮牛頓流體 (incompressible Newtonian fluids),應力張量 τ 為 (stress tensor)
(1)
其中,μ 剪切黏度γ̇  為應變率張量 (rate-of-strain tensor) 或形變率張量 (rate-of-deformation tensor)。在穩態簡單剪切流場 (steady simple shear flow)
(2)
所以
(3)
應變率張量 γ̇  的大小為
(4)



另一方面,在穩態拉伸流場中(steady elongational flow),拉伸黏度定義為 (elongational viscosity)
(5)
應變率張量 γ̇ 
(6)
其中,ε為拉伸率 (elongational rate),ε為正值時對應單軸拉伸 (uniaxial stretching),負值對應雙軸拉伸 (biaxial stretching)。對於牛頓流體,由 Eq. 1 可得
(7)
因此
(8)
拉伸黏度為剪切黏度的 3 倍。應變率張量 γ̇  的大小為
(9)

[註:高分子熔體在單軸拉伸流場的拉伸黏度如 Fig. 8.2-6a 所示,LDPE 具拉伸硬化的特性,故在高拉伸率區間,拉伸黏度遠大於 3 倍的剪切黏度]


Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

2021年4月16日

牛頓流體之耗散函數 (Dissipation Function for Newtonian Fluids)

Revised: 2022/1/20

在所有流動系統,(- τ:v) 這個量描述機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy),有時被稱為黏性耗散生熱 (viscous dissipation heating)。此生熱可以造成高黏度高速度梯度系統可觀的溫度上升。在直角座標中,(τ:v) 可表示成 

(C, Table A.7-1)

將下方 Eqs. B.1-1 至 B.1-6 (generalization of Newton's law of viscosity) 代入 Eq. C,同時使用 Eq. A,且令 (- τ:v) = μΦvκΨv (μ 是黏度,κ 是膨脹黏度 (dilatational viscosity))

(A, Table A.7-1)


[註:牛頓流體的本質方程式如下方 Eq. 1.2-7 所示]
(1.2-7)
可得 dissipation function Φv
以及 Ψv
Ψv = (vx/vy/y + vz/z)2     (1)
此外,對於牛頓流體,(- τ:v) 這個項恆為,因為它可以寫成平方項的和


Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

錐形管之速度分佈 (Velocity Distribution in a Conical Die)

Revised: 2022/4/12

Figure 1 是錐形管模具,中間是漸縮的部分,假設流體在入口、出口均為 Power-law 流體的速度曲線 vz(r),即
(1)
錐形管段的半徑變化 R(z) 及其微分,可以分別由下方的式子描述 
(2)
(3)

Figure 1

假設錐形管可以切分成很多的小片段如 Fig. 2 所示,在這些片段中,可以假設管流速度曲線為 Eq. 1,稱為潤滑近似 (lubrication approximation),嚴格來說此近似僅適用於小的收縮角度 θ。接著引入圓柱座標的連續方程式 (假設不可壓縮流體及 vϕ = 0)
(4)
將 Eq. 1 代入後,可得到徑向的速度 vr(rz)
(5)
取得軸向 vz(r, z)、徑向速度 vr(rz) 等速度分量後 (Eqs. 1、5),可估算形變率張量 D (deformation tensor) 的各分量
(6,7)
(6)
其中,
(7, 8)
(9, 10)
(11)

Figure 2

[註]


References: 
(1) L Perko, M Fasching, and W Friesenbichler, Polym. Eng. Sci. 55, 701 (2014).
(2) DM Binding, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 27, 173 (1988).

2021年4月8日

書籍 - Mathematical Handbook of Formulas and Tables (Schaum's Outline Series)

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封面 (International Editions 1999)