§9.1 傅立葉熱傳導定律：分子能量輸送 (Fourier's Law of Heat Conduction: Molecular Energy Transport)

Revised: 2023/3/2

我們都知道有些材料非常容易導熱 (例如，金屬)，而有些則是熱的絕緣體 (例如，木頭)。描述熱傳導速率的物理性質是熱傳導率 k (thermal conductivity)。

熱在液體的傳導可以想成分子的能量輸送 (molecular energy transport)，儘管其基本的機制是組成分子的運動。能量也可以透過流體的整體運動 (bulk motion) 進行輸送，稱為對流能量輸送 (convective energy transport)，這種形式的輸送取決於流體的密度 ρ。另一種機制為擴散能量輸送 (diffusive energy transport)，它發生在相互間擴散 (interdiffusing) 的混合物。此外，能量也可透過輻射能量輸送 (radiative energy transport)，它的特色是不需要材料介質 (material medium)，但是前述的傳導、對流則需要。本章將介紹前兩種機制，即傳導和對流。輻射則在第 16 章介紹，擴散熱輸送則在 §19.3 和 §24.2 討論。

我們於 §9.1 利用傅立葉定律的熱通量向量 q (Fourier's law for the heat flux vector) 定義熱傳導率 k。在 §9.2 透過對應狀態的原理 (principle of corresponding states)，結論流體的 k 之溫度與壓力相依性。接著在後面的四個小節，我們介紹有關氣體、液體、固體、固體複合物 (composite solids) 的熱傳導率，並提供理論的結果。

因為在第 10、11 章我們將使用能量守恆定律 (law of conservation of energy) 建立問題，所以我們不僅需要知道熱如何進出系統，還需知道透過分子機制 (molecular mechanisms)，功 (work) 是如何施加於系統或系統如何作功。分子作功的項 (molecular work term) 之本質將於 §9.8 討論。最後，透過結合傳導的熱通量 (conductive heat flux)、對流的能量通量 (convective energy flux)、功通量 (work flux)，我們可以創造一個合併的能量通量向量 e (combined energy flux vector)，其對建立能量平衡 (energy balances) 相當有用。

§9.1 傅立葉熱傳導定律：分子能量輸送 (Fourier's Law of Heat Conduction: Molecular Energy Transport)

考慮一個面積為 A 的固態材料厚片，其介於距離為 Y 的兩個大平行平板之間。我們假想一開始時 (t < 0)，整個固體材料的溫度為 T₀。在 t = 0 時，下板突然升至較高的溫度 T₁，並維持在該溫度。隨著時間增加，厚片的溫度曲線逐漸改變，最終達到一個線性穩態的溫度分佈 (如 Fig. 9.1-1 所示)。當達到穩態後，需要一個固定的熱流率 Q 通過厚片，以維持溫度差 △T = T₁- T₀。對於足夠小的 △T，下面的關係式成立

(9.1-1)

也就是，單位面積的熱流率正比於距離 Y 對應的溫度差。比例常數 k 是厚片的熱傳導率。如果兩板之間是液體或氣體，只要小心地消除對流和輻射，則 Eq. 9.1-1 也是成立的。

在接下來的章節中較適合使用上式的微分形式 (differential form)，也就是說，當厚片的厚度趨近於零，我們使用 Eq. 9.1-1 的極限形式 (limiting form)，而在正 y 方向的局部單位面積熱流率表示成 q_y，Eq. 9.1-1 因此變成

(9.1-2)

這個用來定義 k 的方程式是傅立葉熱傳導定律的一維形式，它說明傳導的熱通量正比於溫度梯度 (temperature gradient)，或者圖像式地來說，在溫度對距離的圖上，熱向下坡滑動。事實上，Eq. 9.1-2 並非一個自然定律，而是一個建議，不過，它已被證明是個非常有用的經驗式。在附錄 D 的討論可知，此方程式是具有理論基礎的。

如果溫度在三個方向均有變化，我們可以對每個座標方向寫下一個與 Eq. 9.1-2 相似的方程式

(9.1-3, 4, 5)

如果上面的每一個方程式都乘上適當的單位向量，並相加總的話，我們得到

(9.1-6)

這是三維形式的傅立葉定律。此方程式描述熱在均質 (或均向) 介質的分子輸送 (molecular transport of heat in isotropic media)。此處的均質 (或均向) 指的是材料不具有喜好的方向，所以在各方向的熱傳導具有相同的熱傳導率 k。

有些固體，例如單一非正方體晶體 (single noncubic crystals)、纖維材料 (fibrous materials) 和層板 (laminates) 都是非均質 (或非均向) 的 (anisotropic)。對於這類物質，我們必需以下式取代 Eq. 9.1-6

(9.1-7)

其中，κ 是對稱的二階張量 (symmetric second-order tensor)，稱為熱傳導率張量 (thermal conductivity tensor)。因此，熱通量向量和溫度梯度並沒有指向相同的方向。對於在剪切流場 v_x(y, t) 的高分子液體，其熱傳導率在 x 方向 (流動方向) 可能較平衡值高 20%，而在 z 方向減少 10%。填充床 (packed bed) 的非均向熱傳導將在 §9.6 討論。

另一個可以廣義化 Eq. 9.1-6 的方式，是類比於線性黏彈 Maxwell 模型 (Eq. 8.4-3)，增加一個含有 q 的時間導數 (time derivative of q) 乘上一個時間常數 (time constant) 的項，但是似乎很少實驗證據可以保證這個廣義化之正確性。

讀者將會注意到熱傳導 (heat conduction) 的 Eq. 9.1-2 和黏滯流動 (viscous flow) 的 Eq. 1.1-2 很相似，在這兩方程式中，通量均正比於負的巨觀變數之梯度 (negative of the gradient of a macroscopic variable)，以及比例係數是材料的特徵物理性質，並且與溫度和壓力有關。對於三維的輸送情況，我們發現熱傳導的 Eq. 9.1-6 和黏滯流動的 Eq. 1.2-7 看起來不太一樣，這差異之所以存在是因為能量是純量，但動量是向量，而且熱通量 q 是一個具有三個分量的向量，但動量通量 τ 是一個具有九個分量的二階張量。我們預期能量和動量的輸送除了在某些簡單幾何的情形外，數學上並不會類似。

除了定義於 Eq. 9.1-2 的熱傳導率 k，另一個常用的量為熱擴散係數 α (thermal diffusivity)，定義為

(9.1-8)

這裡的 C_p^{^}是定壓下的熱容量 (heat capacity at constant pressure)，在符號上方的抑揚符號 (^) 表示每單位質量 (per unit mass)，有時我們會需要使用 C_p^~，波浪符號 (~) 表示每莫耳。

熱擴散係數 α 和動黏度 ν 具有相同的單位，即 (長度)²/時間。當假設物理性質為定值時，k 和 ν 這兩個量以同樣的方式出現於動量和能量輸送的改變方程式。ν/α 這個比值表示在流動系統中之動量與能量輸送之難易程度。此無因次比值

(9.1-9)

稱為 Prandtl 數 (Pr)。我們將在接下來幾章遇到另一個無因次群 Péclet 數 (Pé)；Pé = RePr。

熱傳導率和相關量的單位可見於 Table 9.1-1，其它的單位以及不同系統間的相互關係 (interrelations) 可以參考附錄 F。

熱傳導率可以自氣體的約略值 0.01 W/m∙K 一路變化至純金屬的約略值 1000 W/m∙K (差距十萬倍)。一些氣體、液體、液體金屬、固體的熱傳導率之實驗值可見於 Tables 9.1-2、9.1-3、9.1-4、9.1-5。在計算時應儘可能使用實驗值，如果缺少實驗數據的話，我們可以使用接下來幾節的方法估算或者查閱其它工程手冊。