§1.7 對流動量輸送 (Convective Momentum Transport)

目前為止，我們已經討論分子動量輸送 (molecular transport of momentum)，並介紹一組量 π_ij，其代表通過垂直 i 方向表面之 j 方向動量通量。然後我們將 π_ij 和速度梯度和壓力進行關聯，並發現這個關係式涉及兩個材料參數 μ (viscosity) 和 κ (dilatational viscosity)。我們已於 §§1.4 和 1.5 了解黏度如何源自於分子在流體中的隨機運動 (random motion of the molecules)，也就是相對於流體整體運動的隨機分子運動。此外，在 Problem 1C.3 我們說明壓力對 π_ij 的貢獻來自於隨機分子運動。

事實上，動量也可以藉由流體的整體流動進行輸送，而此程序稱為對流輸送 (convective transport)。我們利用 Fig. 1.7-1 加以討論並聚焦在空間中，流體流經的一個正立方體形狀 (cube-shaped) 之區域，在正立方體的中心 (座標在 x, y, z)，流體的速度向量是 v。正如同在 §1.2 我們考慮通過點 x, y, z 的三個相互垂直平面 (陰影平面)，並了解有多少動量流過每一個平面，每個面具有單位面積 (unit area)。

通過 Fig. 1.7-1(a) 的陰影單位面積之體積流率為 v_x，此流體每單位體積帶有動量 ρv，因此，通過陰影面積的動量通量是 v_xρv，特別注意這是自較小 x 的區域 (less x) 往較大 x 的區域 (greater x) 傳遞之動量通量，同樣地，通過 Fig. 1.7-1(b) 的陰影面積之動量通量為 v_yρv，Fig. 1.7-1(c) 為 v_zρv。

這三個向量 ρv_xv、ρv_yv、ρv_zv 描述通過三個面積垂直個自軸之動量通量，這裡三個向量中的每一個向量均有其 x、y、z 分量。這些分量已整理在 Table 1.7-1 的對流動量通量分量 (convective momentum flux components)，ρv_xv_y 這個量是 y 動量通過表面垂直 x 方向之對流通量，它可與 τ_xy 這個量比較 (τ_xy 是 y 動量通過表面垂直 x 方向之分子通量)，此兩種輸送模式的符號規定 (sign convention) 是相同的。

收集 Table 1.7-1 的九個純量分量可以表示成

(1.7-1)

因為每個 ρvv 的分量有兩個下標，而個自對應一個座標方向，所以 ρvv 是一個二階張量 (second-order tensor)，稱為對流動量通量張量 (convective momentum-flux tensor)。Table 1.7-1 的對流動量通量張量之分量應該與 Table 1.2-1 的分子動量通量張量 (molecular momentum-flux tensor) 之分量相互比較。

接下來，我們想知道通過單位法向量 n 的表面元素之對流動量通量；見 Fig. 1.7-2。如果流體以速度 v 流過表面 dS，則自負的那側 (minus side) 流向正的那側 (plus side) 且通過表面的體積流率為 (n∙v)dS。因此，通過表面的動量流率為 (n∙v)ρvdS，對流動量通量為 (n∙v)ρv。根據附錄 A 的向量張量符號規則，也可寫成 n∙ρvv，也就是，單位法向量 n 和對流動量通量張量 ρvv 的內積。如果我們讓 n 接續為指向 x, y, z 方向的單位向量 (即 δ_x, δ_y, δ_z)，我們可以得到 Table 1.7-1 第二列 (欄) 的矩陣元素。
[例如: δ_x∙(Σ_jδ_xδ_jρv_xv_j) = Σ_jδ_jρv_xv_j = ρv_xv、δ_y∙(Σ_jδ_yδ_jρv_yv_j) = Σ_jδ_jρv_yv_j = ρv_yv、δ_z∙(Σ_jδ_zδ_jρv_zv_j) = Σ_jδ_jρv_zv_j = ρv_zv]

同樣地，通過法向量 n 的表面之總分子動量通量為 n∙π = pn + n∙τ。這是自表面負的那一側往正的那一側之通量，此量可以解釋成負的那一側材料通過表面施予正的那一側材料每單位面積之力。n∙π 的幾何解釋可見於 Problem 1D.2。

在本章，我們於 §1.2 定義動量的分子輸送，並已於本節描述動量的對流輸送。於第二章建立殼動量平衡 (shell momentum balances)，以及於第三章建立通用的動量平衡 (general momentum balance)，我們將會發現定義合併的動量通量 (combined momentum flux) 非常有用，它是分子動量通量和對流動量通量的和，即

(1.7-2)

記住 pδ 的貢獻並不含速度卻只有壓力，ρvv 這結合含有密度和速度分量的相乘，τ 含有黏度且對於牛頓流體是正比於速度梯度，以上所有量均為二階張量 (second-order tensors)。

大部分的時候我們將處理這些量的分量，例如，Φ 的分量為

(1.7-3a, 3b)

等等，平行於 Tables 1.2-1 和 1.7-1 的矩陣元素。需記住的重要事情為
𝜙_xy = 透過分子和對流機制，通過垂直 x 方向的表面之合併的 y 動量通量
這裡，第二個指標 (y) 是被輸送的動量分量，而第一個 (x) 是輸送的方向 (第一個指標亦可解釋成，垂直於第一個指標 (x) 方向的表面)。

用於動量通量的各種符號和專門用語整理於 Table 1.7-2，所有通量使用同樣的符號規定。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).