Online Curriculum Vitae (Wen, Yu-Ho)

Wen, Yu-Ho

E-mail: yuhowen@gmail.com

Blog: https://ricwen.blogspot.com

(流變學好簡單｜The RheoMaster)

最新動態／News

∎ 2023-06-07
WEBINAR SERIES 2023
網路研討會講題：Benefiting from Material Digital Twin

Date: Jun 07, 2023 | Location: Europe, Asia Pacific | Time: 10:00 AM CEST / 1:30 PM IST

∎ 2023-01-20

SCI 文章 "Extensional Rheology of Linear and Branched Polymer Melts in Fast Converging Flows" 刊登於流變學經典期刊 Rheologica Acta 2023。線上全文預覽 (Full-text access)

∎ 2022-07-05

美國專利申請通過，名稱 "Method of Measuring True Shear Viscosity Profile of Molding Material in Capillary and Molding System Performing The Same"。連結 (Full-text access)

∎ 2021-11-22

SCI 文章 "Retrieving Equivalent Shear Viscosity for Molten Melts from 3-D Nonisothermal Capillary Flow Simulation" 刊登於 MDPI 國際期刊 Polymers。連結 (Full-text access)

∎ 2021-5-11

口頭發表研究成果 "Viscous Heating Correction for Polymer Melts in Capillary Rheometry" 於美國 ANTEC 2021 會議。

簡介／Biography

溫玉合目前從事高分子流變學、材料科學、成型模擬之領域。自 2019 年進入業界後，已發表 2 篇國際期刊論文 (Polymers 2021、Rheologica Acta 2023)，以及 1 個美國專利 (US11376776B2)。

2012 年加入美國康乃爾大學 Prof. Lynden A. Archer 研究團隊 (2012–2015)，進行複合粒子流體之基礎研究，成果刊登於 Macromolecules (2014、2016)、ACS Macro Lett. (2015)。

2011 年取得國立中正大學化工學士、博士學位，研究主題為高分子流體、膠體懸浮液等之分子交互作用，成果發表於 J. Rheol.、J. Colloid Interface Sci. 等經典期刊 (論文指導為華繼中教授)。研究所期間架設之精密光學系統，包括，雷射光散射和流變光學系統，亦發表於 J. Phys. Chem. B。

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Wen, Yu-Ho (溫玉合) currently works in the fields of polymer rheology and molding simulation. After working in the industry (2019–Present), he has authorized 2 SCI journal articles (Polymers 2021、Rheologica Acta 2023) and 1 US Patent (US11376776B2).

In 2012, he joined Archer Group at Cornell University (Ithaca, New York) as a postdoc (2012–2015), carrying out fundamental studies on nanoparticle fluids, such as the dynamics of soft colloids/glasses, ion transport of advanced energy materials, and synthesis of functional nanocomposites.

He received a Ph.D. in chemical engineering from National Chung Cheng University in 2011 (thesis adviser: Prof. Chi-Chung Hua). He has been interested in understanding molecular interactions in complex fluids (entangled polymer solutions and colloidal dispersions), as well as in building in-house optical systems (light scattering and optical rheometry, which were later utilized in his published works).

研究興趣／Research Interests

∎ Polymer and Colloidal Suspension Rheology／高分子、膠體懸浮液流變學
∎ Measurement, Modeling, and Simulation／流變量測、模型建立、成型模擬
∎ Laser Light Scattering／雷射光散射架設與理論

國際期刊論文發表／Publications 

[1] Wen, Y.-H.*; Wang, C.-C.*; Cyue, G.-S.; Kuo, R.-H.; Hsu, C.-H.; Chang, R.-Y. Extensional Rheology of Linear and Branched Polymer Melts in Fast Converging Flows. Rheol. Acta 62, 183–204 (2023). 連結

[2] Wen, Y.-H.; Wang, C.-C.*; Cyue, G.-S.; Kuo, R.-H.; Hsu, C.-H.; Chang, R.-Y. Retrieving Equivalent Shear Viscosity for Molten Polymers from 3-D Nonisothermal Capillary Flow Simulation. Polymers 13, 4094 (2021). 連結

[3] Sui, T.; Song, B.*; Wen, Y.-H.; Zhang, F. Bifunctional Hairy Silica Nanoparticles as High-Performance Additives for Lubricant. Sci. Rep. 6, 22696 (2016). 連結

[4] Mangal, R.; Wen, Y. H.; Choudhury, S.; Archer, L. A.* Multiscale Dynamics of Polymers in Particle-Rich Nanocomposites. Macromolecules 49, 5202–5212 (2016). 連結

[5] Wen, Y. H.; Schaefer, J. L.; Archer, L. A.* Dynamics and Rheology of Soft Colloidal Glasses. ACS Macro Lett. 4, 119–123 (2015). 連結

[6] Wen, Y. H.; Lu, Y.; Dobosz, K. M.; Archer, L. A.* Structure, Ion Transport, and Rheology of Nanoparticle Salts. Macromolecules 47, 4479–4492 (2014). 連結

[7] Wen, Y. H.; Lin, P. C.; Hua, C. C.*; Chen, S. A. Dynamic Structure Factor for Large Aggregate Clusters with Internal Motions: A Self-Consistent Light-Scattering Study on Conjugated Polymer Solutions. J. Phys. Chem. B 115, 14369–14380 (2011). 連結

[8] Hua, C. C.*; Lin, C. J.; Wen, Y. H.; Chen, S. A. Stabilization of Bulk Aggregation State in Semiconducting Polymer Solutions. J. Polym. Res. 18, 793–800 (2011). 連結

[9] Wen, Y. H.; Lin, P.-C.; Lee, C. Y.; Hua, C. C.*; Lee, T.-C.* Reduced Colloidal Repulsion Imparted by Adsorbed Polymer of Particle Dimensions. J. Colloid Interface Sci. 349, 134–141 (2010). 連結

[10] Wen, Y. H.; Hua, C. C.* Chain Stretch and Relaxation in Transient Entangled Solutions Probed by Double-Step Strain Flows. J. Rheol. 53, 781–798 (2009). 連結

[11] Wen, Y. H.; Hua, C. C.* Short-Time Stretch Relaxation of Entangled Polymer Solutions Investigated Using Full Rouse Model Predictions. J. Polym. Sci. Part B: Polym. Phys. 44, 1199–1211 (2006). 連結

[12] Wen, Y. H.; Lin, H. C.; Li, C. H; Hua, C. C.* An Experimental Appraisal of the Cox-Merz Rule and Laun's Rule Based on Bidisperse Entangled Polystyrene Solutions. Polymer 45, 8551–8559 (2004). 連結

美國專利／US Patent

∎ Wang, C.-C.; Wen, Y.-H.; Cyue, G.-S.; Hsu, C.-C.; Hsu, C.-H.; Chang, R.-Y. Method of Measuring True Shear Viscosity Profile of Molding Material in Capillary and Molding System Performing The Same. US Patent, US11376776B2 (2022). 連結

演講／Oral Presentations

國際會議

∎ 2023 Oral, Webinar Series 2023: Benefiting from Material Digital Twin (webinar)

∎ 2021 Oral, ANTEC 2021 (virtual meeting, USA)

∎ 2017 Oral, European PV Solar Energy Conference (Amsterdam, Netherlands)

∎ 2014 Oral, The Society of Rheology 86th Annual Meeting (Philadelphia, PA, USA)
∎ 2014 Oral, American Physical Society Meeting (Denver, CO, USA)
∎ 2014 Invited seminar talk at Argonne National Laboratory (Chicago, IL, USA)
∎ 2013 Oral, The Society of Rheology 84th Annual Meeting (Pasadena, CA, USA)
∎ 2008 Oral, International Congress on Rheology (Monterey, CA, USA)
∎ 2007 Oral, Annual European Rheology Conference (Napoli, Italy)
∎ 2004 Oral, International Congress on Rheology (Seoul, South Korea)

國內會議

∎ 2019 Invited seminar talk at Moldex3D (Hsinchu)

∎ 2018 Invited seminar talk at Taiwan Solar Energy Company (Hsinchu)

∎ 2016 Invited seminar talk at National Chung Cheng University (Chiayi)

∎ 2015 Invited seminar talk at National Synchrotron Radiation Research Center (Hsinchu)

∎ 2007 Oral, Symposium of Transport Phenomena and Applications (NTU, Taipei)

∎ 2007 Oral, English session, Annual Polymer Symposium (NTU, Taipei)

∎ 2005 Oral, English session, Annual Polymer Symposium (NCTU, Hsinchu)

教育／Education

∎ B.S. in Chemical Engineering, National Chung Cheng University, 2003
∎ Ph.D. in Chemical Engineering, National Chung Cheng University, 2011
∎ Postdoctoral Research Associate, Cornell University, Ithaca, New York, 2012–2015

非恆溫流動問題: 具黏滯加熱之圓管流動 (Nonisothermal Flow Problem: Flow in a Circular Die with Viscous Heating)

塑料熔體 (molten plastic) 進入一水平的圓管，管半徑為 R、長度為 L、溫度為 T₀。流體的流速夠高，以致於黏滯加熱 (viscous heating) 很重要。試求管內之溫度分佈，並假設 (i) 管壁溫度維持在 T₀；(ii) 流體可以被冪次律黏度 (power-law viscosity) η = m(-dv_z/dr)^n-1 描述，且 m 和 n 不具溫度相依性；(iii) 流體在入口端 (die entrance) 具全展流速度曲線 (fully developed velocity profile)；(iv) 密度 (density)、熱容量 (heat capacity)、熱傳導率 (thermal conductivity) 不隨溫度或壓力而改變。

如果聚乙烯熔體 (polyethylene melt) 進入圓管的溫度是 463 K，且壁剪切應力 (wall shear stress) 是 2×10⁵ Pa，試求預測的最大溫度? 此熔體具以下物理性質: ρC_p^{^} = 1.80×10⁶ J/m³∙K；k = 0.25 W/m∙K；n = 0.50；m = 6.9×10³ Pa∙s^1/2。 圓管半徑和長度分別為 0.0394 和 1.28 cm。

解答
經過一長串的處理後 (見 DPL1)，無因次溫度上升 (dimensionless temperature rise) Θ(ξ, ζ) 的最終表示式具有以下型式

對於問題給定的特別實驗數據，最大的溫度將發生在圓管出口 (tube exit)，也就是 z = 0.0128 m 處。在出口處，無因次軸距離 (dimensionless axial distance) ζ 為 (經除以 Péclet number (Pé = ρC_p^{^}v_maxR/k) 後)

從 Fig. 4.4-2 經內插可得最大無因次溫度上升 Θ_max 約等於 0.12，因此我們可以從下式 (Eq. 4.4-48)

得到

對於絕熱管壁問題 (insulated wall problem)，溫度上升量可高達 12 K。因此，黏滯加熱可在擠壓操作 (extrusion operations) 中產生不可忽略的溫度上升量。

我們必需強調，這裡的推導僅適用於不具溫度相依性的物理性質 (temperature-independent physical properties)。但是，如果溫度上升量高於幾度，則 m 的溫度相依性將不能完全被忽略。所以，當估算流速 (flow speeds) 或壓降 (pressure drops) 時，僅可將 Fig. 4.4-2 之結果應用於黏滯加熱才剛開始變得重要之情況 (viscous heating just begins to be important)。

以下針對 Fig. 4.4-2a 的溫度曲線稍作說明。(i) 在固定毛細管位置的情況下 (即 z 值為定值)，由 Eq. 4.4-62 可知，ζ 值將僅取決於最大流速 v_max。當 ζ 值很大 (即低流速，例如 ζ = 0.50)，接近管中心的流體溫度將高於壁溫 T₀；當 ζ 值很小 (即高流速，例如 ζ = 0.02)，接近管壁的流體溫度將達最大值，這是黏滯加熱的效應。(ii) 在固定最大流速的情況下 (即 v_max 值為定值或固定剪切速率)，由 Eq. 4.4-62 可知，ζ 值將僅取決於軸向位置 z。當 ζ 值很小 (即 z 很小，或毛細管上游處，例如 ζ = 0.02)，接近管壁的流體溫度將達最大值。若 ζ 值逐漸變大 (即 z 變大，或往毛細管下游處移動，例如 ζ = 0.10)，則管中每個位置的溫度均上升，但是溫度曲線大致維持不變。

 重新繪製 Fig. 4.4-2a 曲線

Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).

Marrucci-Ianniruberto 黏彈模型於穩態剪切流之預測 (Predictions of Marrucci-Ianniruberto Model in Steady Shear)

Marrucci and Ianniruberto 黏彈模型考慮蛇行 (reptation)、管子長度漲落 (tube-length fluctuations)、限制釋放 (熱的和對流的) (thermal and convective constraint releases) 和鏈拉伸 (chain stretch)。

Reference: G Marrucci, G Ianniruberto, "Flow-induced orientation and stretching of entangled polymers," Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 361, 677 (2003).

約 10 年前流變學會議現場拿到的 Malvern 贈品 (More Rheology, Less Effort)

多些流變，少些白功

(More Rheology, Less Effort)

一個是快樂球 (happy ball)，一個是悲傷球 (sad ball)

快樂球 (左) 與悲傷球 (右)

快樂球 (happy ball) vs. 悲傷球 (sad ball)

快樂球是由氯丁橡膠 (polyneoprene) 所構成，由於大的氯基 (chlorine groups) 造成其低程度之鍵旋轉 (bond rotation)，以及高分子鏈間大量的交聯 (cross-links between chains) 造成極少之鏈滑動 (chain slippage)，所以墜落的能量 (energy of the fall) 僅小部分轉為熱，而大部分能量使分子移動然後快速回到它們原來的位置，最終造成較大的反彈高度 (快樂)。

反觀，悲傷球是由聚降烯冰片烯 (polynorbornene) 所構成，雖然五碳環 (5-membered ring) 同樣造成其低程度之鍵旋轉，但分子能夠吸收大部分的墜落能量。這是因為高分子鏈間沒有大量的交聯，使得分的之自由度較大 (more degrees of molecular freedom)， 故高分子並沒有瞬速回復其原有形狀，造成大部分墜落能量被分子以熱的形式吸收，最終成較小的反彈高度 (悲傷)。

使用電子整流馬達之旋轉流變儀 (On the Use of EC-Motors in Rotational Rheometers)

1. 簡介

旋轉流變儀最主要的元件是馬達軸承系統 (motor with its supporting bearing system) 和力的量測 (force measurement)。在典型的設計，常稱為速率控制 CR (controlled rate 或 controlled strain) 流變儀，在 CR 流變儀，一個位移 (displacement) 或速度 (speed) 透過一個直流馬達 (DC-motor) 施予樣品，所產生的扭矩 (torque) 被額外的量測感測器所個別量測 (即扭矩傳感器)。 而在另一種設計中，稱為應力控制 CS (controlled stress) 流變儀，一個電流 (electrical current) 被施加使磁場上升 (builds up a magnetic field)，產生一個電磁扭矩 (electrical torque)，在這樣的設計，並沒有一個個別的扭矩感測器，因為扭矩訊號是直接從馬達電流計算而來；馬達軸 (motor shaft) 的移動則透過角位移感測器 (angular displacement sensor) 量測而得知。大部分的 CS 儀器仍然使用一個托杯馬達 (drag-cup motor)，也就是一個交流馬達 (AC-motor)，事實上，建造於 1968 年的 Deer 流變儀 (Deer Rheometer) 就是第一個 CS 儀器。

在 1995 年，一個裝配有電子整流同步馬達 (electronically commutated synchronous motor; EC motor; 也稱無刷直流馬達 (brushless DC-motor)) 和數位訊號處理器科技 (digital signal processor, DSP) 的流變儀問世。裝配 EC 馬達的流變儀結合傳統 CR 和 CS 流變儀的好處，它的快速馬達控制如 CR 流變儀，而且因為扭矩直接來自於電流 (如同 CS 流變儀)，所以 EC 馬達流變儀並不需要一個個別的扭矩傳感器。

至今，EC 馬達科技已超過 20 年，以下我們將簡單解釋這種獨特的驅動技術 (drive technique)，討論現行流變儀的 EC 馬達和氣態軸承裝置 (air bearing assembly) 之細部組成及其性能 (specific configuration and performance)，並呈現一些與當代流變研究相關之典型實驗。

2. 氣態軸承支援之電子整流 (EC) 同步馬達

DC 馬達結合光學編碼器 (optical encoder) 已被用於提供位置和速度 (position and speed) 的直接反饋控制中 (direct feedback control)，此配置被稱為機械整流 (mechanical commutation)。DC 電流透過電刷 (brushes) 傳至轉子 (rotor)，這種機械整流會造成摩擦，並限制最小的轉矩解析度至大約 0.5 mNm。為了避免這種機械摩擦，電子整流 (EC) 因而誔生，並發展成為用於流變儀的新馬達概念。EC 代表一種非接觸 (non-contact) 的方式去激發轉子，並可與氣態軸承 (air bearing) 結合，使極低扭矩的量測變成了可能。Figure 1 是典型馬達、氣態軸承、編碼器的裝置。

EC 馬達被稱為無刷 (brushless) DC 馬達，因為馬達電流被電子整流 (commutated electronically) 且沒有電刷或其它機械接觸來激發馬達。相反地，馬達被獨特的高通量密度永久磁鐵激發 (special permanent magnets with a high flux density)。它被稱為同步 (synchronous) 是因為轉子的旋轉速度和定子磁場 (stator field) 相同，因此與其同步。轉子磁場 (rotor field) 的產生是透過安裝於轉子各固定位置的高能量永久磁鐵。因為這些磁鐵的位置都是知道的，故轉子磁場為已知。

EC 控制使用上述技術，因此，透過此方法可使定子電流 (stator current) 之總量線性正比於電磁扭矩 (electromagnetic torque)，即 M~I_s。當變換定子電流將造成扭矩幾乎瞬間的改變，因此，在剪切應變 (shear strain) 或剪切速率 (shear rate) 量測，扭矩可以被快速調整並且無任何過衝現象 (overshoot)。對比之下，在托杯馬達，扭矩的產生是透過磁場對於轉子杯 (rotor cup) 的非瞬間誘發 (non-instantaneous induction)。在 EC 馬達流變儀，流場形變的預先設定值 (presetting) 和其對應的性質量測 (measuring of the corresponding properties) 是發生於儀器的同一側 (the same side of the instrument)，故毋需額外的傳感器。

再者，因為 EC 馬達使用永久磁鐵於轉子，因為渦電流 (eddy currents) 造成的加熱 (heating) 問題不會像托杯馬達系統來的嚴重，因此，EC 馬達使得高扭矩的長時間量測具可行性。

3. 結果

接下來介紹的所有量測都是在 Anton Parr 的 EC 馬達流變儀 (MCR) 所進行。

Figure 2 是纏結高分子溶液 (entangled polymer solution) SRM 2409 於 0℃、不同剪切速率之暫態黏度 (transient viscosity at different shear rates) [1]。儀器於 30 ms 內調整至設定的剪切速率 (所需時間與剪切速率大小無關)。與根據 Gleissle's 鏡像定律 (Gleissle's mirror rule) 自穩態黏度曲線計算而來的極短時間數據比較 (開符號)，所有實驗數據 (閉符號) 在短量測時間均與計算值重疊。

對於分支聚丙烯樣品 (branched polypropylene)，Fig. 3 是 Sentmanat 拉伸流變儀 (Sentmanat Extensional Rheometer, SER) 之不同拉伸應變速率 (extensional strain rate) 隨時間變化的圖，由圖可知，儀器約可在 30 ms 之後達到設定的應變速率 (所需時間與應變速率大小無關)。Figure 3 的插圖可見暫態拉伸黏度明顯的增加，這是典型的應變硬化 (strain hardening)。

在 Fig. 4 的步階應變實驗中 (step strain experiments)，我們可以看到兩個高分子溶液 (SRM 2490，以及一個聚苯乙烯 (polystyrene) 溶於鄰苯二甲酸二乙酯 (diethyl phthalate, DEP) 的溶液，PS5M06DEP) 在大應變下 (γ = 10) 的數據。透過編譯器訊號可得知馬達的角移動量 (angular movement of the motor)，如此，樣品在實驗過程所受的完整應變歷史 (complete strain history) 都可被監測。應變 γ = 10 約在 50 ms 後達到，過程中只有設定值的大約 0.2% 極小應變過衝發生 (strain overshoot)。

與搭配有獨立扭矩傳感器的應變控制 (strain-controlled) 流變儀相比，EC 馬達的應力控制流變儀之扭矩訊號來自於馬達執行步階應變所需的電流。因為馬達控制器試圖以最快的速度施加應變，因此，在非常短時間的扭矩訊號將被控制器的動作所影響。

一開始馬達控制器施加一個很大的扭矩用來加速量測系統，約經 20 ms 後，它在反方向使用一個大的扭矩使系統再次慢下來，以達到想要的步階應變值。約經 60 ms 後，扭矩訊號不再繼續大幅改變，這表示用來執行步階應變的扭矩已不再那麼被需要了，此時的扭矩訊號則反應被拉伸高分子樣品的鬆弛過程 (relaxation process of the stretched polymer sample)。當達到設定的應變後，應變能維持在 0.002% 的設定值內 (γ = 10)。

4. 結論

配備有 EC 馬達的流變儀已商業化 20 餘年，並已完善建立。以 EC 馬達當作流變儀的驅動系統具有很重大的優點，因為它除了能使快速、暫態的應變和應變速率控制幾乎獨立於樣品特性 (nature of sample) 以及量測幾何 (measuring geometry)，同時也能提供應力控制。這種獨特的馬達概念提供了前所未有的量測彈性和可能性。

5. 參考文獻

[1] National Institute of Standards and Technology (2006). Non-Newtonian polymer solution for rheological measurements: polyisobutylene dissolved in 2,6,10,14-tetramethylpentadecane. Certificate of analysis of the Standard Reference Material (SRM®) 2490, NIST, Gaithersburg.

Reference: "On the use of EC-motors in rotational rheometers, relevant for MCR xx2 Series, MCR 92," Anton Paar Application Report.

Example 10.2-2: 被加熱線具有指定熱傳係數和周圍空氣溫度 (Heated Wire with Specified Heat Transfer Coefficient and Ambient Air Temperature)

重覆 §10.2 的分析，假設 T₀ 是未知，而在壁的熱通量是牛頓冷卻定律 (Newton's "law of cooling" (Eq. 10.1-2)。假設熱傳係數 h 和週圍空氣溫度 T_air 均為已知。

解答 1
解題過程如同之前一直到 Eq. 10.2-11，但是第二個積分常數由 Eq. 10.1-2 決定

B.C.2':     at r = R, -kdT/dr = h(T - T_air)     (10.2-22)

將 Eq. 10.2-11 代入 Eq. 10.2-22 可以得到 C₂ = (S_eR/2h) + (S_eR²/4k) + T_air，然後溫度曲線成為

(10.2-23)

從上式得知線的表面溫度是 T_air + S_eR/2h。

解答 2
另一個方法使用先前得到的結果 Eq. 10.2-13，雖然 T₀ 在現在這個問題是未知，我們仍然使用這個結果。從 Eqs. 10.1-2 和 10.2-16，我們得到溫差

(10.2-24)

相加 Eq. 10.2-24 和 Eq. 10.2-13 使我們消去未知的 T₀ 並得到 Eq. 10.2-23。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§9.5 固體的熱傳導率 (Thermal Conductivity of Solids)

固體的熱傳導率需利用實驗量測而得，因為熱傳導率取決於很多難以量測或預測之因子。在結晶材料 (crystalline materials)，相 (phase) 和結晶大小 (crystallite size) 很重要；在無定形故體 (amorphous solids)，分子的方向性程度 (degree of molecular orientation) 具有很大的效應。在多孔固體 (porous solids)，熱傳導率強相依於空隙比率 (void fraction)、孔洞大小 (pore size)、孔洞內的流體 (fluid contained in the pores)。Jakob 於所著書籍仔細探討了固體的熱傳導率。

一般而言，金屬相較於非金屬 (nonmetals) 是較好的熱導體 (heat conductors)，而結晶材料較無定形材料易導熱。乾燥的多孔固體是非常不好的熱導體，因此具絕佳的熱絕緣 (thermal insulation)。對於大部分純金屬，其熱傳導率隨溫度上升而下降，但是對於非金屬卻是上升；合金 (alloys) 表現中間 (intermediate) 的行為。也許最有用的經驗法則 (rules of thumb) 是熱和電傳導率 (thermal and electrical conductivity) 具高度關聯性 (go hand in hand)。

對於純金屬 (而不是合金)，熱傳導率 k 和電傳導率 k_e 具有以下關係

(9.5-1)

這是 Wiedemann-Franz-Lorenz 方程式，它也可以用理論解釋 (見 Problem 9A.6)。對於金屬在 0℃，Lorenz 數 L 大約是 22 到 29×10^-9 volt²/K²，並在 0℃ 以上隨溫度僅微伏改變，每 1000℃ 增加 10-20% 是典型的。在非常低溫下 (對於水銀是 -269.40℃) ，金屬變成電的超導體 (superconductors of electricity)，而非熱的超導體，因此 L 在接近超導區間隨溫度變化非常劇烈。對於合金，Equation 9.5-1 的使用則相當受限，因為 L 隨成分變化極大，且在某些情況，隨溫度變化極大。

Equation 9.5-1 能成功用於純金屬的主要原因是，自由電子 (free electrons) 是純金屬的主要的熱載體 (heat carriers)。此方程式不適用於非金屬的原因是，在非金屬中自由電子密度很低，故能量輸送主要透過分子運動 (molecular motions)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

Example 10.2-1: 電線被電流加熱造成已知升溫量所需之電壓 (Voltage Required for a Given Temperature Rise in a Wire Heated by an Electric Current)

一條半徑 2 mm、長度 5 m 的銅線 (copper wire)，如果線的表面溫度是 20℃。試問，若線的中心軸有 10℃ 之溫度上升量，將造成多少的電壓降?

解答
結合 Eqs. 10.2-14 和 10.2-1 可得

(10.2-17)

若長度為 L，則電流密度 I (electrical density) 與電壓降 E (voltage drop) 的關係為

(10.2-18)

因此

(10.2-19)

從上式可得知

(10.2-20)

對於銅，在 §9.5 的 Lorenz 數是 k/k_eT₀ = 2.23 ×10^-8 volt²/K²。因此，造成 10℃ 溫度上升需要的電壓降為  

(10.2-21)

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).