最小平方近似 (Least Squares Approximation)

Table 8.1 的實驗數據可繪製成 Figure 8.1。

 

對於通用的問題，可用最小平方近似 (least squares approximation) 擬合實驗數據，並將誤差總和 E 最小化

(1)

為了讓最小化發生，我們需要

(2)

即

(3)

(4)

Equations 3、4 可簡化成一般的方程式

(5)

此聯立方程式的解為

(6)

(7)

範例:

由 Eqs. 6、7 可得線性方程式 P(x) = a₁x + a₀ 的係數 a₁、a₀

故 P(x) = 1.538x - 0.360，此直線方程式和實驗數據繪於 Fig. 8.3，而最小平方近似值則列於 Table 8.2。

最後附帶一提，最小平方近似也可應用在尋找複雜方程式 y = f(x) (單一參數)，首先利用微分求得 d(y_fit - y_exp)²/dx = g(x) = 0，再用數值方法找 g(x₀) = 0 的根 (例如，二分法或牛頓切線法)，即得最佳參數值 x₀。

Reference: RL Burden, DJ Faires, AM Burden, Numerical Analysis, 10th ed (Cengage Learning 2016).