毛細管黏度計之入口和出口效應：Bagley 修正法 (End Effects in Capillary Rheometer: Bagley Correction)

Revised: 2022/5/24

當我們推導毛細管黏度計之管壁剪切應力時 (wall shear stress)，通常假設毛細管的長度遠大於直徑 (L >> D)，因此可以忽略流體速度分佈在 z 軸流動方向的差異。然而，在真實的毛細管黏度計，高分子流體自料管進入毛細管入口端 (inlet) 的突縮 (sudden contraction) 易形成渦流 (vortex)，造成額外的壓力損耗，如 Fig. 10.2 所示。而且，當流體進入毛細管後，亦需行經一段距離才能達到穩態，稱之為入口效應 (entrance effect)。此外，對於高分子而言，其在出口端 (exit) 亦會受到模頭膨脹 (die swell) 之擾動，稱之為出口效應 (exit effect)，如 Fig. 10.2 所示。以上兩個效應合稱端點效應 (end effects)，造成流速在 z 方向產生差異。

毛細管黏度計的幾何圖如 Fig. 10.3 所示，若實驗上所取得的等效壓力降 P₀ - P_L 和管長 L 之範圍均是在全展流區 (fully developed flow region)，則可避開料管區 (barrel region)、入口區 (entrance region) 和出口區 (exit region) 的效應，不會造成量測精準度的問題。然而，實際的問題是，我們並不知道完全發展區是在毛細管的哪一段位置。此外，在實務上，壓力感測器 (pressure transducer) 是安裝於料管區而非毛細管段 (見 Fig. 6.6)。

Figure 10.2 毛細管黏度計 (取自 Göttfert 官網)

毛細管黏度計的壓力感測器 (pressure transducer) 安裝於料管區

Figure 10.3 毛細管黏度計幾何圖

毛細管黏度計量測壓降的裝置如 Fig. 10.3 所示，如果我們忽略重力效應，則 P = p。於毛細管入口端上方位置 (即 Fig. 10.3 的點 B) 的壓力值為 p₀，其與單位面積所受的力有關 (F/πR_b²)，其中，F 是維持活塞能以穩定速度移動的力。一般而言，在低體積流率下，流體自寬料管 (wide barrel) 進入毛細管入口端所造成的壓力降非常小可以被忽略；而在毛細管出口端的壓力值 p_L 是大氣壓力 p_atm (atmospheric pressure)，即  p_L = p_atm。故通過整支毛細管的壓降是入口與出口端之壓力差，即 p₀ - p_L (= F/πR_b² > 0)。

(1, 2, 3)

其中，R_b 是料管的半徑。一般而言，如果我們忽略流體在入口及出口端發生的過渡 (或重整) 狀態，則毛細管的全長 L 可被視為壓降 p₀ - p_L 發生的距離。

[註：測力傳感器 (load cell) 的缺點是，量測值 F 不但會受到活塞和料管壁間的摩擦，也會受到料管區壓降的影響，因此，現行儀器大多已採用壓力傳感器]

量測上，為了消除在料管處的壓降影響，我們可以直接於最接近毛細管入口端的點 B (Fig. 10.3)，安裝一個壓力傳感器 (pressure transducer) 量測該處壓力，這也是大部分商業化黏度計的作法。由於出口端的壓力 (p_atm) 為大氣壓力，故僅需安裝一個壓力傳感器 (於點 B)，便可得知壓力差 (= p₀ - p_L)。

然而，在高體積流率下，入口效應和模口膨脹兩效應，可以透過固定管壁剪切速率 (constant wall shear rate) 的實驗，觀察毛細管長度與半徑之比值 L/R (the ratio of capillary length to radius) 對數據的影響，最後加以修正壓力值，我們將於下方討論此方法，即 Bagley 修正法；見 Fig. 7-2。

[註：先進行 Bagley 修正取得真實壁剪切應力值，再進行 Weissenberg-Rabinowitsch 修正取得真實壁剪切速率，結合兩者可得真實黏度]

透過 Bagley 修正，長度不同的毛細管但具有相同的入口和出口壓損總和 p_e (= 入口壓損 (entrance pressure loss) + 出口壓損 (exit pressure loss))，可透過相減消去

在恆溫的毛細管黏度計實驗，當我們固定表觀的壁剪切率 γ ̇_a (= 4Q/πR³) 的值 (即固定體積流率 Q 和毛細管半徑 R)，對於不同長度 L 的毛細管 (至少三個長度)，我們理論上可以產生相同的壁剪切應力 τ_R，即

(4)

當我們採用上述方法 (固定壁剪切率)，則不同長度毛細管所產生對應的壓力降 △p 為

(5)

由 Eq. 5 可知，若將 Δp 對 L/R (或 L/D) 作圖，理應得到一條通過原點且斜率為 2τ_R (或 4τ_R) 的直線；這表示當 L/R 外插至 L = 0 時 (即毛細管長度趨近零)，壓力降將趨近於零。不過，如 Figs. 10.7 或 10.8 所示，當端點效應存在時 (end effects)，各直線將不會通過原點。

Figure 10.7 Bagley plot，每條線代表不同的表觀壁剪切率 (取自 Göttfert 官網)

Figure 10.8 PE 的實驗數據

實驗上，如 Fig. 10.8 所示，具高彈性的 polyethylene 材料的數據確實為直線 (不同斜率對應不同的表觀壁剪切率)，但是 y 軸的截距均不為零 (壁剪切率越大，截距越大)，故表示端點效應的存在且其效應隨壁剪切率增加而變大。

截距值是合併的入口和出口壓力損耗所造成 (combined entrance and exit pressure loss)，這是因為在入口和出口端速度曲線重排所導致 (rearrangements of velocity profile at the entrance and exit)。因此，毛細管的數據需根據 Fig. 10.8 的 y 軸截距值進行端點效應的修正，也就是說，我們需使用修正後的壓力降 △p_corr，計算真實壁剪切應力 (即 △p_corr   = △p - △p_end；截距 △p_end 為正值)，故修正後的真實壁剪切應力 τ_R,corr (true wall shear stress) 將會比較小，其值等於

τ_R,corr = △p_corrR/2L     (6)

[註：Figure 10.8 實驗數據的斜率為 2τ_R,corr = (△p - △p_end)R/L，可直接推算不同 γ ̇_a 對應的 τ_R,corr]

同樣地，另外一種修正端點效應的做法是將原先的 L/R 值加上 Fig. 10.8 的 e 值後 (即 (L/R)_corr = L/R + |e|；e 為負值)，取得正確的剪切應力如下

τ_R,corr = △p/[2(L/R)_corr]   (7)

當使用 Eq. 6 或 Eq. 7 完成 Bagley 修正後，可以得到正確的壁剪切應力 τ_R,corr，下一步便能進行 Weissenberg-Rabinowitsch 修正，以取得真實的壁剪切率，並用以決定最終的黏度；Fig. 1 為經 Bagley 修正後的毛細管黏度計數據。

Figure 1

最後一個有趣問題，我們該如何驗證已求得的 Bagley 壓力修正值 (壓力軸的截距值) 是否正確? 如果我們已完成半徑 R₁，長度為 L₁、L₂、L₃ 的一組實驗，我們可以再進行另一組半徑 R₂，長度同為 L₁、L₂、L₃ 的實驗，確認 Bagley 修正壓力值不隨半徑而明顯改變。如 Fig. 2 所示 [Hatzikiriakos and Dealy (1992)]，我們的確發現直徑 0.0762 和 0.1320 cm 的兩組毛細管，在低表觀剪切率的數據吻合度相當高，表示 Bagley 修正是可靠的；另一組獨立的實驗也發現類似的結論 (Fig. 12) [Barakos and Mitsoulis (1995)]。

Figure 12 y 軸的 n_B 同 Eq. 7 的 e

References:
(1) FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).
(2) MT Shaw, Introduction to Polymer Rheology (Wiley 2012).
(3) SG Hatzikiriakos, JM Dealy, "Wall slip of molten high density polyethylenes. II. Capillary rheometer studies," J. Rheol. 36, 703 (1992).
(4) G Barakos, E Mitsoulis, "Numerical simulation of extrusion through orifice dies and prediction of Bagley correction for an IUPACLDPE melt," J. Rheol. 39, 193 (1995).