何謂牛頓流體、牛頓黏度定律? (What Are Newtonian Fluid and Newton's Law of Viscosity)?

何謂牛頓流體 (Newtonian fluid)? 簡單來說，牛頓流體是黏度 η 不隨流速而改變的流體，也就是在固定溫度、壓力的情況下，η 恆為定值。

Figure 1

更精確地說，牛頓流體滿足牛頓黏度定律 (Newton's Law of Viscosity)，簡單介紹如下。如 Fig. 1 所示，流體被置於一對大的平行板之間，平板的面積均為 A，且兩板的間距為 h，這裡座標系定義向右為正 x，向上為正 y。我們固定下板，並讓上板保持移動速度 v。隨著時間的增加，流體將得到動量 (momentum)，最終達到線性的穩態速度分佈 (linear steady-state velocity profile)。此時，外界需要一個固定的力 F，以維持上板的等速移動。經驗告訴我們

τ_yx = F/A = η(v/h)     (1)

也就是所需加的力 F 會正比於面積 A 和速度 v，反比於板距 h。比例常數 η 是流體的性質，定義為黏度 η。這裡我們使用剪切應力 τ_yx (shear stress) 取代 F/A，τ_yx 表示 x 方向的力作用於垂直於 y 方向之單位面積。可以理解的是，這是位在較小 y 的流體 (下層) 施力予較大 y 的流體 (上層)。如果我們將 v/h 置換成 -dv_x/dy，Eq. 1 變成

 τ_yx = -η(dv_x/dy)    (2)

這個方程式告訴我們，單位面積的剪切力 τ_yx 正比於負的速度梯度 (negative of the velocity gradient)，常被稱為牛頓黏度定律。由於 dv_x/dy > 0，所以由 Eq. 2 得知 τ_yx < 0，故動量傳遞是朝負 y 的方向。值得注意的是，Eq. 2 事實上是一個經驗式，經證實僅適用於氣體以及分子量小於 5,000 g/mol 的液體，這類的流體被稱之為牛頓流體 (Newtonian fluids)。

一般而言，牛頓流體為小分子量的溶劑分子，例如，水、乙醇、甲苯等。由於小分子的特徵運動時間遠小於 10^-9 秒，因此，一般大小的速度梯度並無法對其快速的分子移動造成擾動，故黏度為一定值 (Fig. 2)。相反地，非牛頓流體 (Non-Newtonian fluids) 是黏度會隨剪切速率而變化之流體 (Fig. 2)，非牛頓流體大多為巨型分子或膠體粒子，如高分子溶液、膠體粒子懸浮液等。由於巨分子的分子量 很大 (數十萬甚至數百萬)，故運動速率緩慢。例如，數百萬分子量的高分子鏈或粒徑數百奈米的膠體粒子，可以使得其分子的特徵運動時間達到秒的層級，故易受到速度梯度的影響而改變分子方向性或粒子排列，最終造成黏度的變化，黏度的下降幅度往往可達數百或數千倍之多 (Fig. 2)。

常見的黏度單位為 Pa.s 或 cp (1 Pa.s = 1,000 cp)，例如，水在 20℃ 的黏度為 1 cp，也就是 10^-3 Pa.s。

Figure 2

Reference:
1. RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).
2. TG Mezger, The Rheology Handbook, 3rd ed (Vincentz 2011).