如何自圖片取出數據值 (How to Extract Data from images)

如何將圖檔的數據值取出? 這裡介紹一個免費的線上軟體 "WebPlotDigitizer"。

👉 連結網址 https://apps.automeris.io/wpd/

👉 選取一張圖檔 (Load Image)

👉 於 X 軸點出 X1、X2，Y 軸點出 Y1、Y2，並鍵入座標值，勾選 Log Scale (Axes Calibration)

👉 點取想要數位化的數據點，例如圖中 120 度的實驗數據 (Add Point)

👉 檢視數據 (View Data)

👉 下載 .CSV (Download .CSV)

👉 清除數據 (Clear Data)

👉 重覆以上步驟，進行下一次的數據擷取 (Add Data)

👉 擷取三個溫度的數據如下

Refrence: E Mitsoulis, M Battisti, A Neunhauserer, L Perko, W Friesenbichler, M Ansari, and SG Hatzikiriakos, "Flow behavior of rubber in capillary and injection moulding dies," Plast. Rubber Compos. 46, 110 (2017).

一分鐘學會 oCam 錄製電腦畫面 (Learning oCam in One Minute)

oCam 是一個錄製電腦畫面的軟體

可至 oCam 官網免費下載軟體

第一步: 至 Resize (調整大小 ) 選取 Full Screen (全螢幕)

第二步: 點擊 Record (錄影) 開始錄影，結束時點擊停止或暫停 (Stop or Pause)

§4.4 非恆溫流動問題 (Nonisothermal Flow Problems)

到目前為止，我們處理的流動問題都是假設溫度是不變的 (恆溫)，但是在很多高分子加工應用 (polymer processing applications) 和潤滑系統 (lubrication systems)，溫度隨位置和時間的變化很顯著，因此溫度變化不能被忽略。在製造塑膠物件時，我們通常先熔化塑膠顆粒 (plastic pellets)，然後對熔融材料進行一序列加工操作，最後材料被冷卻以得到成品。很明顯地，熱傳和相改變扮演很重要的角色。在高速加工操作，例如，擠出 (extrusion) 和潤滑問題，黏滯加熱 (viscous heating) 造成的溫度上升很顯著 (因為高分子液體的高黏度和很大的速度梯度)，因此，黏滯加熱項必需被包括在溫度的變化方程式 (the equation of change for temperature)。再者，因為高分子的低熱傳導率 (low thermal conductivity)，黏滯加熱造成的溫度增加可以很可觀且不均勻。因為高分子液體的熱不穩定性 (thermal instability)，在高分子流動問題中，黏滯加熱效應和局部溫度的可靠估算就顯得特別重要。如果熱點 (hot spots) 於加工管線發生，將造成化學裂解 (chemical degradation)。欲描述非恆溫流動，不僅需要聯立解出三個變化方程式 (連續、運動和能量方程式)，一般也需要考慮所有物理性質的溫度相依性 (黏度、熱傳導率、密度、熱容量)；對於高分子液體，黏度的剪切速率相依性不可以被忽略。

在這裡，Equations 4.4-1 至 3 是一開始要討論的熱傳和流體流動方程式，它們和 Table 1.2-1 很相似:

(1.1-13)

從 Eq. 1.1-13 得到 Eq. 4.4-3 時，已經假設 U^{^} = U^{^}(p, T)，即假設單位質量內能 U^{^} 與任何動力學的量 (kinematic quantities) 沒有相依性，例如，應變和應變率。這是一個在所有熱傳計算的標準假設，雖然此假設被視為非常合理，但目前並沒有關於它的完整實驗研究。

Table 4.4-1 列出 Eqs. 4.4-1 至 3 經過比例化、無因次化後的型式 (scaled, dimensionless forms)，在表中，能量方程式中的對流項被 Péclet number (Pé = ρC_p^{^}HV/k) 比例化。因為高分子熔體和高濃度溶液的熱傳導率很低，因此，在典型的非衡溫流動問題中 Pé >> 1，表示熱被對流的速度比被傳導來的快。黏滯加熱的項被熱生成數 Gn 所比例化，Gn 的型式取決於問題的特徵溫度差 △T₀ 之選擇 (characteristic temperature difference)。如果 △Tprocess << △T_rheol，則可合理選擇特徵的 △T₀ 做為 △Tprocess，在此情況下，Gn number 是第一章介紹的 Brinkman number (在這裡 μ 被 η⁰ 所取代，η⁰ 是參考溫度和剪切速率的黏度)。如果 △Tprocess 相較於 △T_rheol 並不是很小，最好使用後者當作 △T₀，然後 Gn 變成 Nahme-Griffith number (Na)。

接著我們檢視出現在變化方程式的流體性質及其溫度相依性。Table 4.4-2 提供數個商業化熔融高分子的數值，包括熱傳導率 k、單位質量熱容量 C_p^{^}、密度 ρ。可以發現 k 值都落在一個非常窄的範圍 (0.1-0.3 W/m∙K)。然後 Table 4.4-3 提供 k、C_p^{^}、ρ 的溫度相依性資訊。在大部分的流動和熱傳計算，我們假設流體的熱傳導率、熱容量、密度並不隨溫度或壓力顯著變化。熱傳導率為定值的假設不會是太大的問題，因為 k 並不隨溫度改變太明顯，也不隨速度梯度改變太大。此外，似乎毋需使用二階張量取代純量的熱傳導率，去解釋非均向熱傳導 (nonisotropic heat conduction)。固定密度的這個假設，表示我們的討論將侷限在強制對流 (forced convection) 且自由對流 (free convection) 被忽略。

雖然在很多的計算中， 假設 k、C_p^{^}、ρ 不隨溫度改變是很合理的，但對於在廣義化牛頓流體模型的參數卻不然，例如，冪次律參數 m 和 n 的溫度相依性之經驗式為

(4.4-4)

(4.4-5)

其中，T₀ 是參考溫度，m⁰ 和 n⁰ 是在該溫度的參數值。常數 A 和 B 是特徵溫差的倒數，可由流體的實驗數據決定。由 Table 4.1-2 可知，參數 m 是溫度的強函數。B 通常很小，因此假設 n 是常數很合適。

另一方面，在工程的文獻中，有不少非恆溫流動系統的解析解 (假設物理性質為常數)，這些結果在數量級的估算 (order-of-magnitude estimates) 非常有用，以及在物理性質不具溫度相依性的極限下可用來確認電腦程式。我們本節的後面將提供幾個解析解，此外，也提供兩個 Nusselt numbers 計算值的表格，一個是管子 (tubes; Table 4.4-4)，一個是薄槽縫 (thin slits; Table 4.4-5)。在 Examples 4.4-1 和 2，我們推導圓管的固定壁溫流入問題 (constant-wall-temperature entries for circular tubes)。

Reference: Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).

*Example 4.2-1 冪次律流體於直圓管和微漸縮管之流動 (Flow of a Power-Law Fluid in a Straight Circular Tube and in a Slightly Tapered Tube)

化學工程、高分子流體力學先驅者 Robert Byron Bird 逝世，享年 96

R. B. Bird 大師對輸送現象的貢獻這裡就不 再詳述，有興趣者可至下方連結。

據說 R. B. Bird 是位好奇心極高的學者，碰到不懂的問題便會到圖書館翻書徹底了解，這應該就是造就他成為化學工程、高分子流體力學先驅者的原因。

資料來源

入口壓降量測之孔口設計 (Design of an Orifice Die to Measure Entrance Pressure Drop)

Revised: 2022/3/22

為了得到長的毛細管段的壓降 p_cap (例如，L/D = 30.0 mm/1.0 mm)，我們可以額外透過一個管長 L 接近零的孔口模具 (orifice die；例如，L/D = 0.2 mm/1.0 mm)，取得塑料自料管 (barrel) 收縮至毛細管入口端所造成的入口壓降 p_ent (entrance pressure drop)。接著，我們將長的毛細管之整體壓降 p_tot 扣除孔口模具之入口壓降 p_ent，即可得到毛細管段的壓降 (p_cap = p_tot - p_ent)，進而得到壁剪切應力 (wall shear stress, τ_w = p_capR/2L) 及黏度。

Figure 1a 是早期的孔口設計，其缺點是高流率時，擠出的塑料非常容易接觸模具的出口區，此潤濕的現象 (wetting) 將造成背壓 (counter pressure) 的貢獻，影響量測。為了改善此缺點，Kim 和 Dealy (2001) 設計 Fig. 1b 的孔口模具，將模具出口寬度由 4.9D₀ 增加至 8–16 D₀。

Figure 2 比較使用 Fig. 1a、Fig. 1b 的孔口模具所得到的入口壓降 p_ent，兩者誤差可達 0.5–1.5 MPa。改良後的孔口模具 (Fig. 1b) 在高的表觀剪切率下，確實可以降低 wetting 造成的背壓，得到比較正確 (較低) 的壓降值。欲了解更多孔口模具的設計概念，請參考下方文獻。

Reference: S Kim and JM Dealy, "Design of an orifice die to measure entrance pressure drop," J. Rheol. 45, 1413 (2001).

長鏈分支高分子之拉伸硬化 (Extensional Thickening of Long-Chain Branched Polymers)

在介紹分子結構對拉伸流變的影響之前，首先了解剪切流場與拉伸流場的差異為何? 如上圖，剪切流場可以想像成將叉子插入義大利麵中然後扭轉，麵條彼此之間的纏結被解開 (disentangle)，故可被輕易由盤子送入口中；拉伸流場可以想像成將叉子插入義大利麵中然後拉扯 (pulling)，麵條被拉直過程中阻力大伏增加，最後可能弄得滿桌都是麵條。

分子的結構對流動有何影響? 線型高分子 (linear) 和長鏈分支高分子 (long-chain branched) 在剪切流場下具有相似的流動行為和相似的彈性響應，均發生黏度稀化的現象 (Fig. 4.8a)。主要是因為兩種不同結構的高分子均隨流場而滾動 (如 Fig. 4.7b 所示)，因此其結構難以被區分出來。但是，在拉伸流場下，兩者的拉伸黏度卻有著截然不同的行為 (Fig. 4.8a)，這是因為在拉伸流場下，分子排列具高度規則性，長鏈分支高分子的分支點 (branch points) 扮演著像是勾子 (hooks) 的角色，增加流動阻力 (見 Fig. 4.7c)，導致長鏈分支高分子發生拉伸硬化。

Reference: FN Cogswell, Polymer Melt Rheology: A Guide for Industrial Practice (Woodhead 1981).

最小平方近似 (Least Squares Approximation)

Table 8.1 的實驗數據可繪製成 Figure 8.1。

 

對於通用的問題，可用最小平方近似 (least squares approximation) 擬合實驗數據，並將誤差總和 E 最小化

(1)

為了讓最小化發生，我們需要

(2)

即

(3)

(4)

Equations 3、4 可簡化成一般的方程式

(5)

此聯立方程式的解為

(6)

(7)

範例:

由 Eqs. 6、7 可得線性方程式 P(x) = a₁x + a₀ 的係數 a₁、a₀

故 P(x) = 1.538x - 0.360，此直線方程式和實驗數據繪於 Fig. 8.3，而最小平方近似值則列於 Table 8.2。

最後附帶一提，最小平方近似也可應用在尋找複雜方程式 y = f(x) (單一參數)，首先利用微分求得 d(y_fit - y_exp)²/dx = g(x) = 0，再用數值方法找 g(x₀) = 0 的根 (例如，二分法或牛頓切線法)，即得最佳參數值 x₀。

Reference: RL Burden, DJ Faires, AM Burden, Numerical Analysis, 10th ed (Cengage Learning 2016).

利用 Rhinoceros 製作不同直徑之圓管模型 (Building a Circular Pipe with Varying Diameter Using Rhino)

圓管模型如圖所示，此模型為三個不同直徑的圓管所組成，中間最細的那段為毛細管，直徑為 1 mm，長度為 30 mm。立體模型的製作可以分成三個部分，簡述如下。

 

1. 毛細管部分 (Capillary)

👉定原點 (0, 0, 0) 為毛細管出口端的截面圓心
👉畫毛細管的圓周 (半徑 0.5 mm)
👉畫一條 45 度輔助線
👉畫正方形 (邊長為 0.5 mm; 2*(0.35/2^0.5)=0.5)

👉定圓心於 (0, -0.3, 0)，產生一條弧線 (1/4 圓)。定圓心於 (-0.3, 0, 0) 產生另一條弧線 (1/4 圓)

👉產生一個外層的曲面 (1/8 圓)，並撒點 (θ: 6 segments & non-biasing; R: 5 segments & non-biasing)、建立表面網格

👉產生一個內層的曲面 (1/4 圓)，並撒點 (6 segments & non-biasing)、建立表面網格

👉鏡像外層的曲面

👉組合三個內、外層的曲面。並持續利用鏡像功能，產生一完整的圓形曲面

👉設定毛細管長度為 30 mm，並複製出口端的表面網格至入口端。最後，建立毛細管的實體網格 (Z: 220 layers & bell & factor=6)

2. 料筒部分 (Barrel)

👉在毛細管入口端建立一個曲面 (7 mm*10 mm)

👉撒點 (R: 40 segments & linear biasing & factor=1; Z: 60 segments & exponential biasing & factor=0.4)，建立表面網格

👉於料筒的中心處，建立一段長度為 10 mm 的毛細管實體網格 (Z: 60 layers & exponential biasing & factor=0.4)

👉360 度旋轉網格表面，並建立料筒的實體網格

3. 出口部分 (Outlet)

👉相同於建立料筒的方式，完成出口部分

[註：attributes 👉 check free surfaces 👉 export model]