如何決定牛頓流體的壓力係數 (Determination of pressure coefficient for Newtonian Fluids)

對於牛頓流體，Hagen-Poiseuille 方程式為

(1)

其中，P₁、P₂ 分別為毛細管的入口、出口壓力。當我們考慮壓力效應對黏度的影響，Equation 1 可表示成下方的微分型式

(2)

其中，壓力係數 β 可以藉由下方 Eq. 3 或 Eq. 4 估算。

在具背壓的情況下 (P₂ ≠ 0)，牛頓流體的零壓黏度 η (zero-pressure viscosity) 可表示為 

(3)

如果毛細管出口為大氣壓力 (不具背壓，P₂ = 0)，則

(4)

在入口壓力 P₁ 很小的情況下 (即壓力效應可忽略)，Equation 4 可以進一步近似成常見的 Hagen-Poiseuille 方程式。

補充

對於遵守 Cross 黏度模型的剪切致稀高分子熔體，Equation 2 可表示為

(5)

當 γ ̇ >> τ*/η₀，Cross model 可簡化成 Power-law 流體如下

(6)

其中，β' = nβ、K = (η₀)ⁿ/(τ*)^n-1、壁剪切率 γ ̇_wp = (3n + 1)/4n ∙ 4Q/πR³。Equation 6 說明黏度不但是剪切率 γ ̇_wp 的函數，也是壓力 P 的函數，而 P 的值是毛細管管長的函數。 

Reference: S Raha, H Sharma, M Senthilmurugan, S Bandyopadhyay, P Mukhopadhyay, "Determination of the pressure dependence of polymer viscosity using a combination of oscillatory and capillary rheometer," Polym. Eng. Sci. 60, 517 (2020).

壓力效應對黏度之定量分析 (Quantification of The Effect of Pressure on Viscosity)

毛細管總壓力降對 L/D 的作圖，又稱為 Bagley plot，一般常用來決定毛細管流變儀中流體自料管 (barrel) 流入毛細管前端的入口壓降 (entrance pressure drop)，進而得到毛細管段的壓降值，精準決定剪切黏度 (shear viscosity)。

事實上，Bagley plot 的數據更可以進一步用於估算壓力係數 β (pressure coefficient)，這是因為在高流率下，毛細管中的流體是處於遠高於一大氣壓的狀態，因此黏度會額外受到高壓效應而增加 (high-pressure effect)，常見的壓力為 5–100 MPa (等同於 50–1,000 bar 或 49.4–987 atm)。

若假設流體的黏度遵守冪次律模型 (Power-law model)，且根據 Barus 方程式，黏度表示式為

η = m₀e^βPγ ̇ ^n-1

根據下方文獻對毛細管流 (Fig. 1) 的推導，可以得到估算壓力係數 β 的公式 (Eq. 9)。若想對 Bagley plot 的數據進行直接的擬合，可使用 Eq. 8，即

Table 1 是橡膠複合物 (rubber compound) 的例子，β 的數值大約在 5×10^-8 Pa^-1。

[註：此分析忽略壓力造成剪切致稀開始發生的臨界剪切速率變小之效應]

Reference: J-Z Liang, "Pressure effect of viscosity for polymer fluids in die flow," Polymer 42, 3709 (2001).

發泡成型將有更多選項 (Expanding Options in Foam Moulding)

FOAM | TECHNOLOGY

發泡射出成型 (foam injection moulding) 是汽車、包裝和技術模具製造商可以用來在其客戶產品中提供巨大價值的技術。發泡的模塑件比未發泡的零件具有更低的密度，因此在汽車和包裝市場的輕量化趨勢中具有吸引力。發泡既可用於薄壁塑件 (thin wall parts)，也可用於厚壁塑件 (thick wall parts)，除了減輕零件的重量外，還有其他好處，例如更低的材料成本和加工優勢，包括縮短的循環時間 (reduced cycle time) 和減小機器夾緊力的可能性 (clamping force)。

Trexel 的 MuCell 工藝也許是最著名的發泡射出成型技術，但是除此之外，一些射出成型機公司已經發展了自己的發泡選項。另外獨立的團隊也開發了專業知識和新的發泡技術。這些技術中的每一種都有其支持者的聲稱使它們脫穎而出，但是本質上，這些技術之間的差異在於使用化學發泡 (chemical foaming) 或使用物理發泡 (physical foaming)。在化學發泡中，將用於發泡膨脹的試劑添加到高分子顆粒中 (polymer granules)，一但在機筒 (machine barrel) 內部開始加工，便將其活化。在物理發泡中，將氣體從外部單元引入機筒，然後與高分子熔體混合以產生發泡膨脹。

根據工業氣體生產商 Linde 的說法，一種新的發泡射出成型技術結合了物理和化學發泡的優點。 Linde 及其開發合作夥伴 Kunststoff-Institut Lüdenscheid (KIMW) 和 ProTec Polymer Processing (2018 年) 推出了 Plastinum 發泡成型工藝。ProTec 使用其 Somos Perfoamer 系統和 Engel E-Victory 310/80 射出成型機展示了該過程。在此過程中，首先將高分子顆粒在空氣調節器中乾燥 (conditioner unit)，然後將其置於射出成型機的上游壓力槽 (pressure vessel or autoclave)，浸漬二氧化碳發泡劑。顆粒吸收的量取決於塑料材料、壓力、溫度和浸漬時間。當壓力被釋放且被充填後，二氧化碳通常可以保留在顆粒中超過兩個小時。

使用 Linde、KIMW、ProTec 共同開發的 Plastinum 發泡成型工藝所生產的開瓶器。

塑料應用專家 Pavel Szych 說：「Plastinum 和化學發泡一樣具彈性，因為它可以與任何工具一起使用而無需加以修改，並且與物理發泡一樣精確且具有再現性」。Linde 的產品系列除了 Plastinum 外，還有氣體射出成型 (gas injection moulding)、模具熱點冷卻 (mould hotspot cooling) 和乾冰噴射清理模具 (dry ice blasting to clean moulds)。Plastinum 發泡射出成型的發展計畫自 2015 年從零開始進行，工藝開發與 KIMW 共同進行，而 ProTec 建置 Plastinum 工藝的硬體。Perfoamer 設備由具控制單元的空氣調節器和具緩衝槽的加壓處理器所組成 (autoclave with buffer bank)。空氣調節器是必要的，因為它能使氣體浸漬不至於在過高的溫度發生，避免影響吸收的程度。Plastinum 工藝使用二氧化碳，因為它是一種能容易取得的氣體，且在測試期間，它與氮氣和其他氣體相比具最好的吸收。

ProTec 的 Somos Perfoamer 單元可乾燥及調整高分子顆粒的溫度，先經二氣化碳的高壓處理，然
後導入射出成型機中。 

Corretto 是一種可重覆使用的隨身咖啡杯 (on-the-go coffee cup)，採用 Bockatech's 的 EcoCore 技術以發泡射出成型於 PP。

在德國的 Neue Materialien Bayreuth，提供射出成型業者各種發泡相關的服務。

Arburg 的 Profoam 工藝可用於汽車零件，例如相片中的輕量化物件。

Reference: March 2019 | INJECTION WORLD (www.injectionworld.com)

強化材料時代來臨 (The Reinforcements Have Arrived)

Materials | composites

熱塑性塑料增強纖維 (reinforcing fibres for thermoplastics) 的發展側重於成本降低、性能和加工，汽車 (automotive)、電子與電機 (electrical and electronics (E&E)) 市場處於領先地位。新的和改進的產品包括短玻璃纖維 (chopped glass fibres) 和長玻璃纖維 (long glass fibres)，再到新型的芳香族聚醯胺 (aramids) 和更具成本競爭力的碳纖維產品 (carbon products)。

[註: aramid = aromatic polyamide；polyamide (PA) 的中文為聚醯 (ㄒㄧ) 胺，是由含有羧 (厶ㄨㄛ) 基和氨基的單體通過醯胺鍵聚合成的高分子]

PA6 和 PA6,6 仍然是搭配增加玻璃纖維的高分子，特別是在汽車領域，但一些重要的轉變正在改變增強纖維熱塑性塑料的競技場。其中包括汽車工業中，增強聚丙烯 (reinforced PP) 的持續增長，以及其他纖維增強樹脂 (fibre-reinforced resins) ，如 PC、PBT、PET、PEEK、PPO 和 LCP 在電子和電機領域的強勁增長。家用電器，醫療設備以及其它與運輸相關的應用也代表著重要的潛在市場，以及剛萌芽的生物塑料領域 (bioplastics)。

 3B Fibreglass 熱塑性塑料業務發展經理埃里克·馬丁 (Eric Martin) 表示：「纖維 (fibre) 或填料 (filler) 增強材料最近的全面進展，包括玻璃 (glass)、碳 (carbon)、聚芳醯胺 (aramid)、天然纖維 (natural fibres)，旨在提高熱塑性化合物的性能和加工性能，同時提高成本競爭力」。

馬丁說 OEMs (原廠代工製造者) 與碳纖維供應商之間的聯盟，對整個複合材料行業都很重要，並將促使增強熱塑性塑料成為鋼 (steel) 和鋁 (aluminium) 等傳統材料的輕質替代品 (lightweight alternatives)。同時，他認為玻璃纖維在大量生產和成本優勢方面將在新興應用中發揮重要作用。

汽車、電機與電子行業是邁向增強熱塑性塑料轉變的領導者，包括提高耐用性 (greater durability)、耐熱性 (heat resistance) 並減少系統成本。不論哪個領域，更嚴格的熱穩定性 (thermal stability) 要求經常被認為是增強熱塑性塑料需求和創新的關鍵驅動力。此外，可回收性 (recyclability) 和報廢管理 (end-of-life management) 也變得越來越重要。

3B Fibreglass 公司的新材料 DS2200-10P 10μm 增強了 PP 的機械性質 (紅線)。宣稱其專利的大小分級 (proprietary sizing) 和結合技術 (binding technology) 提供優異的 dry-as-moulded (DAM) 性能，以及水解 (hydrolysis) 或熱老化 (heat aging) 後仍能夠持持高比例的性質保留 (property retention)。

3B Fibreglass 公司的新材料 DS1120-13P 可強化 polyamide，鎖定的應用包括牆上插頭 (wall plugs) 和自行車踏板 (bicycle pedals)。

Sabic Innovative Plastics 公司的碳纖維填料 Ultem PEI 樹脂 (熱塑性聚醚醯亞胺) 正被試驗成為取代飛機桌臂的鋁。

相較於 1 micron talc，Milliken 公司的新產品 HPR-803i 增強劑提供了增加的性質 (綠線)。測試進行於 35MFR interior-grade medium-impact PP 共聚高分子，上圖為撓曲模數 (flexural modulus)，下圖為熱變形溫度 (heat deflection temperature)。

Reference: January/February 2012 | INJECTION WORLD (www.injectionworld.com)

高分子之材料性質: Part 2 (Material Properties of Polymers: Part 2)

7. 熱性質

(Thermal Properties)

射出成型過程中的熱傳遞需要注意以下三種現象：

■ 進入的熔體所引起的對流 (convection)

■ 從熔體中傳導出來 (conduction)，通過模具 (mold) 並進入冷卻通道 (cooling channels)

■ 熔體流入模腔時由於其變形而產生的剪切加熱 (shear heating)

透過對流進入模具，關鍵特性是熔體的比熱 (specific heat)，這是一定量熔體的熱含量之量度。熔體向冷卻線的傳導需要熔體以及模具的傳導性 (conductivity)。材料的剪切加熱是熔體黏度和形變率的函數。

7.1. 比熱容 (Specific Heat Capacity)

材料的比熱容是衡量提高材料溫度所需能量的量度，反之則是多少能量包含在給定溫度下的材料中。對於進入模具的對流，控制熱量進入模具的關鍵特性是比熱容。為了定義這一點，假設我們有一些材料，並在其中加上一些熱量 Q，以使溫度升高 ΔT。物體的平均熱容 C_bar (mean heat capacity) 定義為熱量變化與溫度變化之比

(14)

然後將特定溫度下的物體熱容 C (heat capacity) 定義為上式在溫度差趨於零的極限

(15)

比熱容 (specific heat capacity) 定義為單位質量材料的熱容。比熱的單位是焦耳每公匠每度 K(J/ kg.K)。可以在恆定體積或壓力的條件下測量比熱容量，並分別表示為 c_v 和 c_p。

在恆定體積量測時對樣品進行加熱，由於樣品對盛裝容器施加的應力很大，故軙常使用 c_p。

比熱被用來計算在填充、保壓和冷卻過程中，從熔體流向模具冷卻系統的熱量損失。當熔體流過流道系統 (runner system) 和腔體時，它還被用於計算由黏滯耗散所產生的熱量。當材料固化時，可能會產生額外的熱量 (潛熱)，特別是對於半結晶材料。模擬程式經常忽略這一點，因為它需要明確計算出結晶度。

通常，高分子的比熱比金屬的比熱高得多。Table 3.1 列出了一些常用於射出成型的高分子和鋼的比熱值。儘管金屬的比熱低於高分子的比熱，我們知道要從模具中移除的熱量卻是由比熱和密度的乘積決定 ρc_p，不過鋼的密度比高分子高約一個數量級。

7.2. 導熱係數 (Thermal Conductivity)

導熱係數是對材料進行加熱的導熱程度之量度。具有高導熱率的材料可用於自熱源吸收熱量。具有低導熱率的材料是絕緣體。成型模擬時，需要知道模具和高分子的導熱性。

想像一塊厚度為 ∆x 的材料平板，其一側溫度為 T，另一側溫度較高為 T + ∆T，如 Fig. 3.3 所示。令 ΔQ 為熱在時間 Δt 中穿過面積 A 的橫截面的流量。這樣，整個橫截面上的平均熱流為 Q/Δt。通過實驗已確定，平均熱流速率與面積和溫度差成正比，與平板的厚度成反比

(16)

引入一個正值的比例常數 k，得到

(17)

其極限 Δx → 0 和 ∆t → 0，我們得到

(18)

Equation 18 定義了材料的導熱係數，用 k 表示。導熱係數的單位是焦耳每公尺每秒每度 K (J/m.s.K) 或瓦特每公尺每度 K (W/m.K)。

作為複雜材料，高分子的熱導率會隨溫度，結晶度和分子排向而變化。高分子的熱導率通常較低，而金屬的導電性更高且熱導率較高，Table 3.2 中給出了一些範例。隨著傳導率的降低，實驗誤差成為了問題。由於其較低的值，導熱率是聚合物難以測量的特性。與模擬相關的熱傳導最重要的方面是傅立葉定律 (Fourier's law)，該定律可以從 Eq. 18 推導，經除以 A，然後將導數廣義化後可得

(19)

其中，q 是局部的熱通量向量 (heat flux vector)。大部分的模擬軟體假設 k 是純量。

8. 熱力學關係

(Thermodynamic Relationships)

成型模擬需要幾個熱力學性質，這些是從材料的狀態方程獲得的 (equation of state)，被稱為 PVT 數據。

狀態方程將這三個變量壓力 p、比容 Vˆ 和溫度 T 相關聯。對於任何材料，我們都可以將狀態方程寫成以下形式

(20)

8.1. 膨脹率和可壓縮性 (Expansivity and Compressibility) 

考慮到任意兩個變量，第三個變量可以從狀態方程中獲得。特別地，我們可以寫出

(21)

其中，g 是某個函數。繪製函數 g，我們得到如 Fig. 3.4 所示的 PVT 表面。想像一下，溫度為 T_a 時，材料在壓力保持恆定的情況下經歷了溫度變化。隨後的體積變化是什麼？這可以通過 Fig. 3.4 來回答，圖中顯示為從點 a 到 b 的變化。從 T_a 到 T_a + ∆T 的溫度變化導致體積變化等於g(p_a, T_a + ∆T) - g(p_a, T_a)。因此，體積隨溫度變化的平均變化為

(22) 

在 ΔT → 0的極限下，我們得到材料的瞬時體積變化，表示為

(23)

其中，下標指出壓力是恆定的。

材料的體積膨脹係數 β 定義為 (coefficient of volume expansion)

(24)

單位為 K 的倒數 (1/K)，體積膨脹係數也稱為材料的膨脹率。

[註: p_a = p_b]

現在考慮保持溫度恆定時，壓力變化引起的體積變化，這可由 Fig. 3.4 的點 b 移動到 c 來示意。由壓力變化引起的平均體積變化量可由下式表示

(25)

再一次讓 ∆p → 0，我們獲得材料的瞬時體積變化，表示成

(26)

等溫壓縮係數 κ 定義為 (isothermal compressibility coefficient)

(27)

其中負號表示體積隨壓力增加而變小。等溫壓縮係數的單位是平方米每牛頓 (m²/N).

9. 壓力-體積-溫度數據

(Pressure-Volume-Temperature (PVT) Data)

對於熱塑性高分子，狀態方程的類型為 Vˆ = Vˆ(p, T)，通常以 PVT 圖的形式提供，該圖給出比體積 (specific volume) 是 p 和 T 的函數。一個常用的方程是泰特方程 (Tait equation)

(28)

其中，C = 0.0894 是一個常數，並且被認為是通用的。V₀ˆ(T) 是

(29)

其中，上標 (s) 和下標 (m) 分別代表高分子的固態和熔融態通常。B(T) 是

(30)

對於無定形高分子 V_tˆ(p, T) = 0，而對於半結晶高分子

(31)

其中，轉變溫度 T_trans 被假定為壓力的線性函數，即

(32)

給定 PVT數據 Vˆ =Vˆ(p, T) ，可透過微分得到上面討論的膨脹係數和壓縮係數。由於密度是單位體積的倒數，因此 PVT 圖還提供了任何壓力和溫度下的密度值。

10. 纖維排向

(Fiber Orientation)

纖維排向分析試圖確定混入高分子中的纖維排向。 最簡單的模型需要高分子中的纖維量，以重量分率或體積分率表之，纖維的長寬比 (aspect ratio) 也可能是必需的。纖維重量分率 W_f 定義為

(33)

其中，W_f 是纖維的重量，W_c 是複合材料的重量，ρ_f 是纖維的密度，ρ_c 是複合材料的密度，v_f 是纖維的體積，v_c 是複合材料的體積。通常對於工業材料，重量分率以百分比表示。纖維體積分率 φ 定義為

(34)

長寬比 a_R 定義為纖維長度除以它的直徑。

11. 收縮和翹曲

(Shrinkage and Warpage)

對於收縮和翹曲，我們需要

■ 方向 1 和 2 上的線性膨脹係數 (linear coefficients of expansion)

■ 方向 1 和 2 上的彈性模量 (elastic moduli)

■ 泊松比 (Poisson's ratios)

■ 剪切模量 (shear modulus)

這些性質在固體力學 (solid mechanics) 教科書中都有提及。我們簡要討論它們以求完整性，更進一步是考慮加工效應並對這些性質進行建模。

我們已經討論了體積膨脹係數 (Eq. 24)，該公式告訴我們體積隨溫度的變化如何變化。這對於非常簡單的收縮和翹曲分析可能就足夠了。在這種情況下，線性膨脹係數大約是體積膨脹係數的1/3。但是，一般而言，模製零件表現出非等向性效應 (anisotropic effects)，這意味著線性膨脹係數在三個正交方向上不同。由於射出成型零件通常是薄壁的 (thin-walled)，因此，如果定義坐標的三個軸是位於厚度方向，則所需的線性膨脹係數應為 1 和 2 方向的線性膨脹係數。在方向 i 上的線性膨脹係數定義為

(35)

也可以對彈性模量做出類似的關係式。Equation 27 提供了材料承受均勻負荷下的體積變化。但是射出模製的材料之模量也表現出非等向性。採用與上述相似的坐標系統，我們可以討論模量在三個方向上。根據分析的類型，E₁和 E₁ 的值可能就足夠了。彈性模量，通常稱為楊氏模量 (Young's modulus) 或拉伸模量 (tensile modulus)，是由在感興趣方向上的應力 (stress) 與應變 (strain) 之比值所定義

(36)

當拉伸材料樣品時，泊松比與觀​​察到的效果有關，透過在給定方向上施加拉力 (tensile force)，樣品寬度在垂直於拉力的方向上會收縮 (contraction)。相反，如果壓縮材料樣品 (compress)，則垂直於壓縮力的方向上的寬度會增加。

剪切模量或剛度模量 G 是衡量材料在剪切中的行為的量度，它被定義為剪切應力與剪切應變之比值。假設上面的三個正交方向，我們得到

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Reference: PK Kennedy, R Zheng, Flow Analysis of Injection Molds, 2nd ed (Hanser 2013).