如何決定牛頓流體的壓力係數 (Determination of pressure coefficient for Newtonian Fluids)

對於牛頓流體，Hagen-Poiseuille 方程式為

(1)

其中，P₁、P₂ 分別為毛細管的入口、出口壓力。當我們考慮壓力效應對黏度的影響，Equation 1 可表示成下方的微分型式

(2)

其中，壓力係數 β 可以藉由下方 Eq. 3 或 Eq. 4 估算。

在具背壓的情況下 (P₂ ≠ 0)，牛頓流體的零壓黏度 η (zero-pressure viscosity) 可表示為 

(3)

如果毛細管出口為大氣壓力 (不具背壓，P₂ = 0)，則

(4)

在入口壓力 P₁ 很小的情況下 (即壓力效應可忽略)，Equation 4 可以進一步近似成常見的 Hagen-Poiseuille 方程式。

補充

對於遵守 Cross 黏度模型的剪切致稀高分子熔體，Equation 2 可表示為

(5)

當 γ ̇ >> τ*/η₀，Cross model 可簡化成 Power-law 流體如下

(6)

其中，β' = nβ、K = (η₀)ⁿ/(τ*)^n-1、壁剪切率 γ ̇_wp = (3n + 1)/4n ∙ 4Q/πR³。Equation 6 說明黏度不但是剪切率 γ ̇_wp 的函數，也是壓力 P 的函數，而 P 的值是毛細管管長的函數。 

Reference: S Raha, H Sharma, M Senthilmurugan, S Bandyopadhyay, P Mukhopadhyay, "Determination of the pressure dependence of polymer viscosity using a combination of oscillatory and capillary rheometer," Polym. Eng. Sci. 60, 517 (2020).