似線性黏彈性模型 (Quasi-Linear Viscoelastic Model)：Part 1

Revised: 2021/12/23

原始的 Jeffreys model (Eq. 5.2-9) 只能定性描述線性黏彈行為

(5.2-9)

我們於是基於上式，將之推廣成似線性黏彈模型 (quasi-linear viscoelastic model)。做法是將微分型式的 Jeffreys model (Eq. 5.2-9) 中的時間偏導數 (partial time derivatives) 取代成對流時間導數 (convected time derivatives)，以得到 convected Jeffreys model，或稱為 Oldroyd's fluid B

(7.2-1)

[註：Equation 7.2-1 亦被稱為 contravariant convected Jeffreys model，其與 covariant convected Jeffreys model (或 Oldroyd's fluid A) 不同]

Convected Jeffreys model 有三個參數，零剪切率黏度 η₀、鬆馳時間 λ₁、延遲時間 λ₂。其運動學張量 (kinematic tensors) 已定義於 §6.1。以下三種模型為 convected Jeffreys model 的特殊例子:
(a) 如果 λ₂ = 0，變成 convected Maxwell model (也稱 contravariant convected Maxwell model 或 upper convected Maxwell model)，因其簡單的原故，常被用於黏彈流場之計算。
(b) 如果 λ₁ = 0，變成第二正向力係數為零的二階流體 (second-order fluid with a vanishing second normal stress coefficient)。
(c) 如果 λ₁ = λ₂ = 0，變成黏度 η₀ 的牛頓流體。

雖然我們知道 convected Jeffreys model 是可接受的，我們無法事先知道它是否能描述典型高分子的物質函數。因此，必需將之儘可能測試於不同的流變實驗 (如同對任何一種模型)。

以下針對 convected Jeffreys model，推導其於時間相依的剪切流場之預測 (time-dependent shearing flows)，包括： (a) 簡單剪切流場下之時間相依本質方程式；(b) 穩態剪切流場 (steady shear flow)；(c) 小振幅振盪剪切流場 (small-amplitude oscillatory shearing flow)；(d) 穩態剪切流場之前的起始過程 (start-up of steady shear flow)；(e) 穩態剪切流場之後的應力鬆馳 (stress relaxation following steady shear flow)。

A. 剪切流下之時間相依本質函數

根據 Appendix C，τ₍₁₎、γ₍₁₎、γ₍₂₎ 於非穩態剪切流場 (unsteady shearing flow) 的張量表示式分別如 Eqs. 1 到 3 所示

(1) 

(2) 

(3)

將 Eqs. 1 至 3 代入 convected Jeffreys model，可得到下方的矩陣方程式 (matrix equation)

(7.2-2)

從矩陣方程式中，我們可以得到一組應力張量分量的耦合微分方程式 (a set of coupled differential equations for the stress tensor components)

(7.2-3)

(7.2-4)

(7.2-5)

(7.2-6)

從這些方程式可得知，對於簡單的時間相依剪切流場，正向應力 τ_yy 和 τ_zz 均為零，故 Eq. 7.2-6 虛底線的項為零，我們接下來使用 Eqs. 7.2-3 至 6 計算特定的物質函數。

B. 穩態剪切流之物質函數

對於穩態剪切流，Eqs. 7.2-3 至 6 可剪化成代數方程式，解 τ_xx 和 τ_yx 的兩個方程式可得到以下函數

(7.2-7)

Convected Jeffreys model 預測黏度、第一正向力係數為定值，第二正向力係數為零。

C. 小振幅振盪剪切流之物質函數

為了得到小振幅振盪剪切的性質，我們假設應變 γ_yx 隨時間 t 的變化為

(4)

其中，γ₀ = γ̇ ₀/ω 是應變的振幅。接著找出在小應變極限下，Eq. 7.2-3 到 6 的解。在此流場下，剪切應力的微分方程式為

(7.2-8)

因為我們在求一個穩態週期解，一階線性常微分方程式的非齊性部分 (nonhomogeneous part of the first-order, linear, ordinary differential equation) 建議我們嘗試下方型式 τ_yx 的解 (或者說，在小應變的極限下，τ_yx 可表示成與應變異相、同相的應力疊加)

(7.2-9)

將 Eq. 7.2-9 代入 Eq. 7.2-8 可得

(7.2-10)

(7.2-11)

由上兩式可得 η' 和 η"  (或 G' = η"ω 和 G" = η'ω) 的表示式，兩者之值與應變大小無關 (η' 和 η" 的結果相同於 linear viscoelastic Jeffreys model)。

D. 穩態剪切流之前的起始過程

對於穩態剪切流場之起始，剪切率可表示為

(5)

其中，H(t) 是 Heaviside 單位階梯函數 (Heaviside unit step function)。Equations 7.2-3 和 7.2-6 (τ_xx 和 τ_yx)可因此表示成微分方程式如下 

(7.2-12)

(7.2-13)

其中，Dirac delta 函數 δ(t) 的引入是因為其為階梯函數的導數 (dH/dt = δ(t))。我們將 Eq. 7.2-12 乘上積分因子  exp(t/λ₁) (integrating factor)，並自 t = 0^- (τ_yx = 0) 積分至任一時間 t > 0，可得

(7.2-14)

接著將最後的結果結合 Eq. 7.2-12 可得

(7.2-15)

由 Eqs. 7.2-14 和 7.2-15 可知，convected Jeffreys model 預測應力和第一正向力的成長函數均不隨剪切率而變，然而這個預測僅與高分子溶液線性黏彈區間之響應吻合。再者，模型預測應力是隨時間呈單調遞增至穩態值，並無應力過衝 (stress overshoot)，此與實驗觀察不符。最後，應力在 t = 0 時有一個跳躍，這個特徵與模型的延遲時間 λ₂ 有關，但實驗上並未有此現象；不過，也因為有這個跳躍特徵，預測的應力比正向力成長更加快速，此趨勢與實驗結果定性相符。

E. 穩態剪切流之後的應力鬆馳

對於穩態剪切流之後的應力鬆馳，我們讓剪切率的切換以下式表之

(6)

接著將 Eq. 6 代入 Eq. 7.2-6 可得應力的微分方程式如下

(7.2-16)

若將 Eq. 7.2-16 自 t = 0^- (τ_yx = - η₀γ̇ ₀) 積分至任一時間 t > 0，可得應力鬆馳函數

(7.2-17)

 為了得到正向力的鬆馳函數，我們注意 Eq. 7.2-3 中，當時間大於等於零時且剪切率為零時，正向力 τ_xx 以 exp(-t/λ₁) 的型式自穩態值鬆馳，故得

(7.2-18)

如同前面已發現應力成長的物質函數不受剪切率而影響，應力鬆馳也是呈現同樣的結果。此外，τ_yx 一開始的鬆馳 (t = 0) 也是有一個跳躍特徵，這導致應力鬆馳到零的速度較正向力來得快，這點與實驗定性吻合。


Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).