平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 1

對於扭轉平行板流變儀 (torsional parallel-plate rheometer)，樣品置於兩個平行 (圓) 板之間，下板靜止，而上板旋轉，如 Fig. 3.12 所示。以下將針對不可壓縮牛頓流體 (incompressible Newtonian fluid)，計算流速分佈、應力張量 (stress tensor)、穩態旋轉 (角速度 Ω) 所需力矩 (torque)。為了簡化問題，這裡假設

(1)

其中，f(r) 是未知的 r 函數，是我們將要求解的。

Figure 3.12 雙平行板 (parallel plates)

這個流體流動問題將使用圓柱座標 (cylindrical coordinates) 求解，因此連續方程式為 (equation of continuity)

(1)

因為流速僅在 θ 方向，所以速度在 r 和 z 的分量為零

(2)

所以連續方程式簡化成

(3)

Equation 3 說明 v_θ 在 θ 方向為定值。對於不可壓縮之牛頓流體，運動方程式 (equation of motion) 可簡化成 Navier-Stokes 方程式

(4)

於圓柱座標，Navier-Stokes 方程式的各項為

(5, 6, 7, 8, 9)

若將我們對速度 v 已知的訊息代入 Eqs. 5 到 9，可得

(10, 11, 12, 13, 14)

重力是負 z 的方向。因為在 θ 方向是對稱的，所以有關於 θ 的導數均要為零。有了這個假設，我們最後得到下方運動方程式

(15)

因為這個流動問題要求穩態解，所以 ¶v_θ/¶t = 0。另外，因為流動不是單向流 (unidirectional flow) 所以 v‧▽v (Eq. 11) 不為零。Navier-Stokes 方程式 (Eq. 15) 的 z 分量很簡單，它告訴我們在 z 方向的壓力梯度源於重力 (gravity)

(16)

而 r 分量指出，徑向的壓力梯度源於離心力 (centrifugal force)

(17)

θ 分量則告訴我們扭轉流 (torsional flow)

(18)

我們可以從 Eq. 18 看出，v_θ 是 r 和 z 的函數。的確，於下板與上板 (z = 0, H) 的位置，其速度分別為零與非零，故 v_θ 是 z 的函數；於中心與邊緣 (r = 0, R) 的位置，其速度分別為零與非零，故 v_θ 是 r 的函數。所以，v_θ = v_θ(r, z)，這裡我們無法使用簡單的分離變數法 (separation of variables) 求解。我們在一開始的問題描述時已合理假設 v_θ = zf(r) (Eq. 1)，將之代入 Eq. 18，可得

(19)

其解為

(20)

其中，C₁ 和 C₂ 是積分常數。這個問題的邊界條件是流體和兩平板接觸的位置沒有壁滑動 (no wall slip)，且空間中速度是有限的 (finite velocity)，即 

(21, 22, 23, 24)

我們可以得到速度場 (velocity field)

(25, 26)

 為了計算扭轉圓盤所需的力矩 Ｔ (torque)，我們使用力矩的定義並積分

(27)

Equation 27 的 τ_zθ 可由本質方程式取得 (這裡假設牛頓黏度定律)，即 

(28)

(29, 30, 31)

有了本質方程式 (Eq. 31) 和 v_θ  的解 (Eq. 26)，最後可得

(32)

接著將 τ_zθ 代入 Eq. 27 並積分得到力矩

(33)

由 Eq. 33 也可得知牛頓流體的黏度 μ

μ = (2Ｔ/πR³) / (Rω/H) = 表觀剪切力/邊緣剪切率    (34)

由於我們於此流動問題假設流體為牛頓流體 (流速分佈為已知)，我們將另文討論通用流體 (流速分佈為未知)；見「平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 2」。

Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).