Example 8.5-1: Oldroyd 6-Constant Model 於穩態剪切流場之物質函數

經適當的參數決定後，Oldroyd 6-constant model 可定性描述高分子流體動態 (polymer fluid dynamics) 。此模型的本質方程式為

(8.5-3)

這裡主要介紹如何得到 Oldroyd 6-constant 模型預測的穩態剪切流之物質函數 (material functions for steady shear flow)。

解答

首先，對於非穩態剪切流 (unsteady shear flow)，速度分佈為 v_x(y, t) = γ̇ (t)y，應力張量的九個分量中，有四個分量為零，即 τ_xz = τ_zx = 0、τ_yz = τ_zy = 0。Equation 8.5-3 的各分量可簡化成以下幾個式子，依序對應 xx、yy、zz、yx 分量

(8.5-5, 6, 7, 8)

對於穩態剪切流 (steady-state shear flow)，由 Eq. 8.5-7 可知 τ_zz = 0。而其它三個方程式是一組聯立代數方程式 (a set of simultaneous algebraic equations)。由 Eqs. 8.5-5 和 8.5-6 可分別知道 τ_xx 和 τ_yy 的表示式，將之代入 Eq. 8.5-8 可得 τ_yx，最後結合黏度的定義 η = -τ_yx/γ̇ ，可得無因次化的黏度 η/η₀ (normalized viscosity; Eq. 8.5-9)。同理，若是結合第一正向力係數 Ψ₁ = -(τ_xx - τ_yy)/(γ̇ )² 以及第二正向力係數 Ψ₂ = -(τ_yy - τ_zz)/(γ̇ )²，可分別得到無因次化的第一、

第二正向力係數 (Eqs. 8.5-10 和 8.5-11)。

(8.5-9, 10, 11)

由 Eqs. 8.5-9, 10, 11 可得知，黏度和正向力係數都是剪切率相依的函數 [註: Oldroyd 6-constant model 可簡化成三個參數的模型，稱之為 Oldroyd-B model，在此簡化的模型中，μ₁ = λ₁、μ₂ = λ₂、μ₀ = 0，因此，黏度和正向力係數不隨剪切率而變]。

對大部分的高分子，黏度隨剪切率下降，所以對這類流體，0 < σ₂ < σ₁。再者，由於量測的應力 |τ_yx| 總是隨剪切率單調遞增，我們必需限制 σ₂ > σ₁/9。雖然 Oldroyd 6-constant 模型能夠預測剪切率相依的黏度和正向力，但是在寬廣的剪切率範圍，其曲線的形狀和實驗數據仍達不到令人滿意的吻合度。

如果 μ₁ < λ₁ 且 μ₂ < λ₂，則第二正向力係數與第一正向力係數異號，此結果與大部分的高分子液體相符。再者，對於很多流體，其第二正向力係數遠小於第一，而且在有些流場扮演可忽略的角色，所以設定 μ₁ = λ₁ 和 μ₂ = λ₂ 可能是合理的，也就是 Ψ₂ = 0，這樣可將參數由六個減少成四個。

以上討論是有關於如何評估一個被提出的經驗模型 (empirical model)，主要透過比較模型預測和流變實驗數據。我們也看到實驗數據可能對參數範圍設下必要的限制。這樣的過程很像熱力學家 (thermodynamicist) 發展混合物的經驗狀態方程式 (empirical equations of state) 時所面臨之情況。差異只在於，熱力學家關心純量方程式 (scalar equations)，而流變學家 (rheologist) 是張量方程式 (tensor equations)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).