§3.1 連續方程式 (The Equation of Continuity)

Revised: 2022/1/28

連續方程式的推導，針對流體流經空間中位置固定的體積單元 △x△y△z 進行質量平衡 (mass balance)，如 Fig. 3.1-1 所示，
 

[註：採 in 減 out，是為了表示對體積單元而言，例如，in = 3 g/s，out = 5 g/s，所以質量增加時率為 (3 - 5) g/s = - 2 g/s，表示體積單元質量減少。]

現在我們必需將這個簡單的物理陳述翻譯成數學語言。

我們先考慮兩個垂直 x 軸的陰影面，流進位在 x 的陰影面之質量流率為 (ρv_x)|_x△y△z，流出位在 x + △x 的陰影面之質量流率為 (ρv_x)|_x+Δx △y△z。同樣地，可以針對其它兩對的面寫下類似的表示式。在體積單元內的質量增加率為 △x△y△z(∂ρ/∂t)，然後質量平衡變成

透過將整個方程式除上 △x△y△z，並在 △x、△y、△z 趨近於零的極限下，接著使用偏微分 (partial derivatives) 的定義，我們可得

這是連續方程式 (equation of continuity)，它描述空間中一個固定點之流體密度時變率 (the time rate of change of the fluid density at a fixed point in space)。這個方程式可寫成簡要的向量表示式，即

[註：見下方 Eq. 1。]

這裡，(▽∙ρv) 稱為 ρv 之發散量 ("divergence of ρv")，有時寫成 "div ρv"。向量 ρv 是質量通量 (mass flux)，它的發散量有一個簡單的意義，即單位體積之淨質量流出率 (the net rate of mass efflux per unit volume)。在 Problem 3D.1 的推導則是使用一個具任意形狀的體積單元 (arbitrary shape)，並不一定需要像我們此處使用的矩形體積單元 (rectangular volume element)。

連續方程式有一個非常重要且特別的型式，對於密度固定的流體 (即不可壓縮流體 ( incompressible fluid))，Eq. 3.1-4 可簡化成

當然，沒有流體是真正的不可壓縮，但是在工程或生物的常見應用中，密度為定值的這個假設往往帶來很可觀的簡化和非常小的誤差。

註：

(i) The Divergence of a Vector Field

(1)

(ii) The Equation of Continuity

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).