§3.2 運動方程式 (The Equation of Motion)

為了得到運動方程式，我們對 Fig. 3.2-1 的體積單元 △x△y△z 寫下動量平衡，即

(3.2-1)

Figure 3.2-1 對空間中一個固定位置的體積單元進行動量平衡，這裡以 x 方向動量為例

特別注意，Eq. 3.2-1 是 Eq. 2.1-1 延伸至非穩態的問題 (unsteady-state problems)，因此，如同第二章，我們將以類似的方式進行推導。然而，除了包括非穩態的項，我們必需允許流體移動通過體積單元的所有六個面。特別記住 Eq. 3.2-1 是向量方程式 (vector equation)，其在三個坐標方向 x、y、z 都有分量。我們發展 Eq. 3.2-1 在 x 分量的每個項；y、z 分量可以用類似的方式處理。

首先，我們考慮動量的 x 分量，進、出 Fig. 3.2-1 體積單元的流率，動量透過兩種機制進入和離開 △x△y△z: 對流輸送 (見 §1.7) 和分子輸送 (見 §1.2)。

(3.2-2)

接著有一作用於流體體積單元的外力 (一般是重力)，此力的 x 分量為

(3.2-3)

若以數學的語言來表述三個方向 (x, y, z) 的運動方程式如下

(3.2-4)

(3.2-5, 6)

Equations 3.2-4 到 3.2-6 分別描述的是，每單位體積在 x, y, z 方向的動量時變率。若使用向量及張量表示，Equations 3.2-4 到 3.2-6 可分別寫成 (下標 i 為 x, y, z)

(3.2-7)

或相加寫成更精簡的向量式子

(3.2-8)

Equation 3.2-8 等式右側的第一個項是合併的動量通量張量 (combined momentum flux tensor)，可寫成對流的動量通量張量 (convective momentum flux tensor) + 分子的動量通量張量 (molecular momentum flux tensor) ，代入 Eq. 3.2-8，可得到下方的運動方程式

(3.2-9)

Equation 3.2-9 表示，在單位體積裡，動量時變率 = 對流造成的動量時變率 + 分子輸送造成的動量時變率 (分子應力 = 靜壓力 + 黏性應力) + 施加於流體的外力。 

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).