§11.1 能量方程式 (The Energy Equation)

本文章介紹如何推導總能量的變化方程式 (equation of change for the total energy)，此式是一個用於描述均相流體或固體 (homogeneous fluid or solid) 能量輸送 (transport of energy) 之偏微分方程式 (partial differential equation)。若將能量方程式 (能量守恆) 結合連續方程式 (質量守恆) 和運動方程式 (動量守恆)，我們可進而處理非恆溫系統 (nonisothermal systems)。 

能量守恆定律 (law of conservation of energy) 是古典熱力學第一定律 (first law of classical thermodynamics) 的延伸，涉及一個封閉系統中，兩個平衡狀態之內能差異 (difference in internal energies of two equilibrium states of a closed system)，此內能差來自於加入系統的熱和作用於系統的功，即我們熟悉的 △U = Q + W。

對空間中位置固定且有流體流經的一個體積單元，進行簡單的能量平衡 (energy balance)，如Fig. 3.1-1，便可得能量方程式 (energy equation) 。能量可藉由以下幾種形式傳遞，(1)  動能和內能可藉由對流輸送 (convective transport) 的方式輸入和輸出於此體積單元；(2) 熱可透過傳導 (heat conduction) 的方式進出，熱傳導原理上是一個分子程序 (molecular process)；(3) 功可藉由應力作用於流動流體，這也是一種分子程序，它包括了壓力 (pressure forces) 和黏滯力 (viscous forces)。此外，功也可藉由外力 (external forces) 作用於系統，例如重力。

Figure 3.1-1 對空間中一個固定位置的體積單元進行能量平衡，這裡的 mass flux (ρv_x) 應改為 energy flux (e_x) 

因此我們可把上述各種不同能量傳遞的方式，寫成下方之能量守恆方程式

(11.1-1)

我們將使用合併的能量通量向量 e (combined energy flux vector) 表示 Eq. 11.1-1 等號右側的前三個括號。e 的表示式為

(9.8-5)

Equation 9.8-5 依序表示對流 、分子機制作功、熱傳導造成的能量通量。在繼續進行前，我們將說明以下幾點:

(i) 這裡的動能 (kinetic energy) 指的是，流體可被觀察運動 (observable motion of the fluid) 所對應能量，若 v 為流體的速度向量，每單位體積具有動能

(ii) 內能指的是組成分子相對於以 v 的速度移動座標系所具備的動能，加上分子有關於振動和旋轉運動 (vibrational and rotational motions) 的能量。
(iii) 勢能 (potential energy) 並沒有出現於 Eq. 11.1-1，因為我們傾向考慮重力作功於系統。

(iv) 黏滯耗散加熱 -(τ:▽v) (viscous dissipation heating) 發生於流動系統，是由 e (Eq. 9.8-5) 的機械能降解為熱能而來 (degradation of mechanical energy into thermal/internal energy)，為一種不可逆的轉換，因此將自動出現於內能的變化方程式中 (equation of change for internal energy)。然而，像電磁 (electromagnetic)、輻射 (radiative)、核能 (nuclear)、化學 (chemical) 形式的能量，則是需要額外被引入能量平衡方程式。

接下來我們將把能量守恆方程式 (Eq. 11.1-1) 翻譯成數學項。體積單元內 △x△y△z，動能和內能的增加率為

(11.1-2)

其中，U^{^} 是單位質量的內能 (亦稱為比內能 (specific internal energy))，ρU^{^} 是單位體積的內能，而 ρv²/2 = ρ/2 * (v_x²+v_y²+v_z²) 是單位單積的動能。接下來我們必需知道有多少能量進入和離開體積單元 △x△y△z 的各個面，即

(11.1-3)

我們必需記住，合併的能量通量向量 e 包括動能和內能的對流輸送、熱傳導、分子程序作的功。而外力對流體作功的時率為流體速度 (v) 和施予的力 (ρ△x△y△z)g 之內積，即

(11.1-4)

接下來將這些不同貢獻 (Eqs. 11.1-2,3,4) 代入 Eq. 11.1-1，並除以 △x△y△z，當 △x、△y、△z 趨近於零，可得

(11.1-5)

Equation 11.1-5 表示，在單位體積、單位時間下，動能加上內能之時變率 = 對流造成的動能和內能之時變率 + 熱傳導造成之能量時變率 + 分子機制作功造成之能量時變率 + 外力作功造成之能量時變率。Equation 11.1-5 可寫成精簡的向量表示式如下

(11.1-6)

若我們將合併的能量通量向量 e (Eq. 9.8-5) 代入上式，可得能量方程式 (equation of energy)

(11.1-7)

值得特別一提的是，對於黏彈性流體 (viscoelastic fluids)，Eq. 11.1-7 右側的倒數第二項可將 "viscous" 取代成為 "viscoelastic"。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).