§10.4 黏滯熱源之熱傳導問題 (Heat Conduction with a Viscous Heat Source)

接下來我們考慮一個不可壓縮牛頓流體在兩同軸圓柱 (two coaxial cylinders) 間之流動；見 Fig. 10.4-1。內、外圓柱的表面分別維持在 T = T₀ 和 T = T_b。我們可以預期 T 將僅是 r 的函數。

Figure 10.4-1 兩同軸圓柱，外圓柱等角速度旋轉，內圓柱靜止

當外圓柱旋轉，每一圓柱殼流體 (each cylindrical shell of fluid) 摩擦 ("rubs" against) 一個相鄰的殼流體 (adjacent shell of fluid)，這種相鄰層流體間的摩擦力產生熱，也就是，機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)。來自於這種黏滯耗散 (viscous dissipation) 的體積熱源 (volume heat source) 可以被標誌為 S_v，我們待會將看到，當我們使用合併的能量通量向量 e 時 (在第 9 章末已定義)，S_v 自動出現在殼平衡。

如果狹縫寬度 b 相較於外圓柱半徑 R 是夠小的，則這個問題可以用 Fig. 10.4-2 比較簡化的系統來近似求解，也就是，我們乎略曲率效應 (curvature effects) 並使用直角座標求解此問題。所以速度分佈為 v_z = v_b(x/b)，其中，v_b = ΩR。

Figure 10.4-2 雙平板系統，上板等速移動，下板靜止

我們現在針對一個厚度 △x、寬度 W 和長度 L 的殼進行能量平衡，因為流體在運動，我們使用如 Eq. 9.8-6 的合併能量通量向量，然後這平衡可寫成

(10.4-1)

除以 WL△x 並讓殼厚度 △x 趨近於零可得

(10.4-2)

這個方程式積分可以得到

(10.4-3)

因為我們不知道 e_x 的任何邊界條件，我們無法在這時估算積分常數。

我們現在將 e_x 的表示式 (Eq. 9.8-6) 代入。因為 x 方向的速度分量是零，(ρv²/2 + ρU^{^})v 這個項可以被丟棄。根據傅立葉定律 q 的 x 分量是 -k(dT/dx)，[τ∙v] 的 x 分量是 τ_xxv_x + τ_xyv_y + τ_xzv_z (見 Eq. 9.8-1)，因為速度唯一不為零的分量是 v_z，且根據牛頓黏度定律 τ_xz = -μ(dv_z/dx)，[τ∙v] 的 x 分量為 -μv_z(dv_z/dx)，經整理後，Eq. 10.4-3 變成

(10.4-4)

當代入線性速度曲線 v_z =v_b(x/b) ，可得

(10.4-5)

在上式中，我們可以看出 μ(v_b/b)² 是每單位體積黏滯熱生成率 S_v (the rate of viscous heat production per unit volume)。

當積分 Eq. 10.4-5，我們得到

(10.4-6)

兩個積分常數可由以下兩邊界條件決定

B.C. 1:     at x = 0，T = T₀     (10.4-7)

B.C. 2:     at x = b，T = T_b     (10.4-8)

對於 T_b ≠ T₀，最後可以得到

(10.4-9)

此處，Br = μv_b²/k(T_b-T₀) 是無因次的 Brinkman 數，它是衡量黏滯耗散項 (viscous dissipation term) 重要程度的指標。當 T_b = T₀ 時，Eq. 10.4-9 可寫成

(10.4-10)

最大溫度位在 x/b = 1/2 + (1/Br)。

如果溫度上升的程度很可觀，則必需考慮黏度對溫度的相依性。這將在 Problem 10C.1 討論。

黏滯加熱項 S_v = μ(v_b/b)² ([=] J/m³.s) 可以用以下的論證來理解，在 Fig. 10.4-2 的系統，作功速率等於施予上板的力乘以上板移動速度，即 (-τ_xzWL)(v_b)。若將作功速率除以體積 WLb，可得單位體積之能量增加速率 (-τ_xzv_b/b) = μ(v_b/b)²。這個能量完全以熱的形式出現，因此為 S_v。

在大部分的流動問題，黏滯加熱並不重要；然而，如果速度梯度很大時，則黏滯加熱不可忽略。黏滯加熱需被加以考量的流體流動例子包括，(i) 潤滑液 (lubricants) 於快速移動零件之間；(ii) 高分子熔體 (molten polymers) 於高速擠出成型 (extrusion) 的模具內；(iii) 極高黏性流體於高速黏度計 (high-speed viscometers)；(iv) 當衛星或火箭再進入地球大氣層時，空氣於邊界層之流動。前兩個例子又特別複雜，因為很多的潤滑液和塑膠熔體為非牛頓流體。非牛頓流體的黏滯加熱可見 Problem 10B.5。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).