Example 3.6-1: 長圓管之穩態流 (Steady Flow in a Long Circular Tube)

Revised: 2022/1/25

利用連續方程式和運動方程式 (the equations of continuity and motion) 重新解析 Example 2.3-1 的管流問題 (tube-flow problem)。這將說明如何使用附錄 B 圓柱座標系的列表方程式 (假設黏度、密度固定)。

SOLUTION

Figure 2.3-2 圓管之動量通量分佈與流速分佈

我們假設 v = δ_zv_z(r, z)，此假設意謂著沒有徑向的流動 (no radial flow; v_r = 0)、沒有切線方向的流動 (no tangential flow; v_θ = 0)，而且 v_z 不隨 θ 而改變。因此，我們可以於列表的變化方程式中刪除很多項 (見下方 §§B.4、B6)，只留下

第一個方程式指出 v_z 僅為 r 的函數，因此，在 Eq. 3.6-4 右邊第二項的偏微分 (partial derivatives) 可以被置換成常微分 (ordinary derivatives)。我們使用修正壓力 𝒫 = p + ρgh (modified pressure) (其中，h 是任意基準平面 (datum plane) 以上的高度，其方向與重力相反)，可以避開在圓柱座標下計算 g 的分量之必要性，而且我們得到任何管軸定向均有效的解 (any orientation of the axis of the tube)。
[註：在此題，基準平面為 z = 0，𝒫₀ = p₀ - ρg0 及 𝒫_L = p_L - ρgL]

Equations 3.6-2 和 3.6-3 說明 𝒫 僅是 z 的函數，且在 Eq. 3.6-4 第一個項的偏微分可以被置換成常微分。唯一方法可以讓我們有一個 r 的函數加上一個 z 的函數等於零，是每個項個別等於一個常數，例如 C₀，因此，Eq. 3.6-4 可簡化成 

這個 𝒫 方程式可以馬上被積分。而這個 v_z-方程式可以僅靠著一個接著另一個撕開左側算子的方式被積分 (不要花力氣解此複合微分) [註]，因此得到

這四個積分常數可以由邊界條件找到

最後的解答是

Equation 3.6-13 與 Eq. 2.3-18 相同，而 Eq. 3.6-12 的壓力曲線並沒有在 Example 2.3-1 中得到，而是由經驗去假設的 (tacitly postulated)。我們本來也可以在這裡這麼做，但是我們選擇使用較少的假設來解題。

如先前在 Example 2.3-1 所指出，Eq. 3.6-13 唯有在層流區 (laminar-flow regime) 是有效的，且位置不能太接近管子的人口和出口。對於雷諾數大於約 2100，一個紊流區將存在入口區的下游，Eq. 3.6-13 將不再有效。

註：

(1) The Equation of Continuity

(2) Equation of Motion

(3)

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).