§2.3 通過圓管之流動 (Flow Through a Circular Tube) [部分]

Revised: 2022/1/19

Hagen-Poiseuille equation (哈根佰意索意方程式) (Eq. 2.3-21) 結合毛細管黏度計 (capillary viscometer) 的實驗數據，即館質量流率 w 和修正壓力差 𝒫₀ - 𝒫_L (modified pressure difference)，可決定牛頓流體的黏度值 μ。

     (2.3-21)

以下結論 Hagen-Poiseuille equation 推導過程之所有假設。

(a) 流動屬層流 (laminar low)，即雷諾數 Re 必需小於約 2,100。
(b) 流體密度為定值，即不可壓縮流 (incompressible flow) 。
(c) 流動達穩態 (steady state)，即不隨時間而改變。
(d) 流體為牛頓流體 (Newtonian fluid)，故 Eq. 2.3-14 有效。

(2.3.14)

(e) 端點效應 (end effects) 被忽略。事實上，流體進入管子入口後，需流經一段入口長度 L_e (entrance length; L_e = 0.035D Re) ，方能形成穩態的流速分佈曲線 (抛物線)。如果入口區域過大 (entrance region) 而被包括在我們有興趣的毛細管量測段，則必需引入修正。假設管徑 D = 1 mm，Re = 1,000，則 L_e = 35 mm = 3.5 cm。壓力差或質量流率的修正比例 (fractional correction) 不會超過 L_e/L (如果，L > L_e)。
(f) 流體的行為屬連續體 (continuum)。除了對極稀薄氣體或極細的毛細管，連續體是個合理的假設。於上述兩極端狀況，分子的平均自由徑 (mean free path) 相當於管徑 (the "slip flow region") 或遠大於管徑 (the "Knudsen flow" or "free molecule flow" region)。
(g) 管子無壁滑效應 (no wall slip)，所以流體在管壁處 (r = R) 的流速為零 (B.C. 2)。對於純流體 (pure fluids) 在 (f) 的假設下，此為非常合理的假設。

[註: 事實上，除了上述 (a)–(g) 外，其它的假設亦包括 (1) 黏度並不具壓力相依性 (no pressure dependence of the viscosity)、(2) 流體為恆溫 (isothermal)]

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).