§2.3 圓管之流體流動 (Flow through a Circular Tube)

A. 問題描述

流體在圓管的流動經常出現在物理、化學、生化和工程領域，管內的層流 (laminar flow) 可透過動量平衡與圓柱座標之結合分析之。 於 Fig. 2.3-1，流體受壓力差和重力雙重引響而往下流動。這裡假設管長遠大於管徑 (L >> R)，故端點效應 (end effects) 的影響可忽略。

(i) 流體: 密度 、黏度為定值的流體，即不可壓縮的牛頓流體。
(ii) 邊界條件:
B.C. 1，在 r = 0，剪切應力為有限值；
B.C. 2，在 r = R，速度 v_z = 0。
(iii) 分析: 我們假設流體速度 v_z = v_z (r)、v_r = v_θ = 0，壓力 p = p(z)。由下方 Table 1 可知，只有兩個應力分量相等 τ_rz = τ_zr，且不為零。

(1)

此題求解穩態下，層流的流速分佈等性質。

Figure 2.3-1 對垂直圓管進行 z 方向動量之平衡

Table 1 直角座標系下之牛頓黏度定律

B. 結果討論

如 Fig. 2.3-1，我們進行 z 方向的動量平衡

(2)

Equation 2 依序考慮對流、分子輸送和重力對殼層內流體之影響。求解後得以下結果 (1) 至 (3)。

(1) 動量通量分佈

(3)

此線性結果繪於 Fig. 2.3-2，動量通量的值在徑向 (r) 呈線性增加 ，或者是說，在 r = R，管壁剪切力 (wall shear stress) 有最大值。

Figure 2.3-2 圖管之動量通量與流速分佈曲線

(2) 速度分佈在徑向 (r 方向) 為抛物曲線

(4)

速度分佈曲線如 Fig. 2.3-2 所示。速度梯度為 (velocity gradient)

dv_z/dr = - (P₀-P_L)r/(2μL)     (4.1)

|dv_z/dr| 的最大值發生在管壁處 (r = R)，且速度梯度自管壁 (r = R) 線性遞減至管中心 (r = 0)，故管流產生的是非均勻流場 (inhomogeneous flow)，反觀，流體於平行平板的速度梯度為定值，故產生的是均勻流場 (homogeneous flow)。

(3a) 最大的速度 v_z,max 發生在管子中心軸 (r = 0)

(5)

(3b) 平均速度 <v_z> 等於總體積流率除以截面積

(6)

平均速度為最大速度的二分之一。

(3c) 質量流率 w 等於平均流速 (Eq. 5) 乘上截面積再乘上流體密度 ρ

(7)

這是相當有名的結果，稱之為 Hagen-Poiseuille 方程式。結此式結合毛細管黏度計 (capillary viscometer) 的實驗數據，即質量流率 w 和修正壓力差值 𝒫₀ - 𝒫_L  (modified pressure difference)，可決定牛頓流體的黏度值。體積流率 Q 則為 w/ρ。

(3d) 流體作用於管子濕表面 (wetted surface) 的黏滯力 F_z (z 方向分量)，等於剪切力 τ_rz 對整個濕面積 (wetted area) 進行積分，即

(8)

Equation 8 告訴我們，黏滯力 F_z 會被淨壓力 (net pressure force) 和重力 (gravitational force) 所抵消。此結果也可透過對管內流體進行簡單的力平衡求得。

很多實驗結果已證實，只要系統的雷諾數 (Reynolds numbers) 低於約 2,100，上述流體流動問題的假設 (v_z = v_z(r) 和 p = p(z)) 和計算結果都是相當可靠的。然而，當 Re > 2,100，流體的流動很容易因為管壁粗糙度或震動影響，使層流 (laminar flow) 過渡成為紊流 (turbulent flow)。對圓管而言，雷諾數的定義為

(9)

其中 D (= 2R) 是管子直徑。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).