共旋馬克斯威爾模型 (Corotational Maxwell Model) 於簡單剪切流場 (Simple Shear Flow) 的預測

這裡我們檢驗一下共旋馬克斯威爾模型 (corotational Maxwell model) 於簡單剪切流場 (simple shear flow) 的預測。Corotational Maxwell 模型是線性黏彈性 Maxwell 模型之延伸，可視為非線性黏彈性的模型 (nonlinear viscoelastic model)。Maxwell 模型為

(1)

而 corotational Maxwell 模型為

(2)

Equations 1 與 2 唯一的差別是前者為時間偏微導數 (partial time derivative)，後者為共旋時間導數 (corotational time derivative)。相較於時間偏微導數，共旋時間導數的引入將滿足客觀性原則 (principle of objectivity)，即應力張量的表示將與流體單元在空間中的瞬間方向性無關 (the expression for the stress tensor should be independent of the instantaneous orientation of a fluid element in space)。在 Eq. 2 中，剪切應力張量 τ 的共旋時間導數為 τ₍₀₎ (= Dτ/Dt)，即 

(3)

其中，D/Dt 為時間實質導數 (substantial derivative)。於簡單剪切流場，速度梯度張量 (velocity gradient tensor) 為

(4)

渦度張量 (vorticity tensor) 為 ω = ▽∙u - (▽∙u)^T

(5)

 應力張量 (stress tensor) 為

(6)

速度向量的各分量為

(7)

應變率張量為 (rate-of-strain tensor or rate-of-deformation tensor) 

(8)

結合 Eqs. 2 至 7，以及應力張量不隨位置和時間而變的假設 (即 Eq. 3 的第一項時間實質導數 為零 Dτ/Dt = ¶τ/¶t + u_x¶τ/¶x + u_y¶τ/¶y + u_z¶τ/¶z = 0，但第二項 1/2{ω ∙ τ - τ ∙ ω} 不為零)，我們可得以下結果，黏度與剪切率的相依性為

(9)

Figure 5.27 為黏度對剪切率的作圖，相同於 Maxwell 模型，corotational Maxwell 模型預測了牛頓平台區 (Newtonian plateau)，但後者模型更成功預測實驗上常見的剪切致稀的行為 (shear thinning)。當 λ₀ 越大，剪切致稀將提前在低剪切率發生。另外，此模型對第一正向力差值 N₁ (first normal stress difference) 和其係數 ψ₁ (正值) 之預測為

(10)

 第一和第二正向力差值係數之理論比值為 (ψ₂ 負值)

(11)

實驗上，第二正向力差值較第一正向力差值難以測得，因此常以下式近似之

(12)

同時，Eqs. 10 和 11 告訴我們，corotational Maxwell 模型預測的第一和第二正向力差值異號且不為零。Figure 5.28 是第一正向力差值係數對剪切率的作圖，隨著剪切率越大，正向力差值係數越小。

雖然 corotational Maxwell 模型錯誤預測程度過大的剪切致稀行為 (excessive shear thinning；即在剪切率為 1/λ₀ 1/s 時，Equation 9 預測應力將有最大值) 和過大的正向力差比值 (實驗值約 - 0.1 至 - 0.4，而非 - 0.5)，但是僅有兩個參數的 corotational Maxwell 模型 (λ₀ 和 η₀)， 已可定性補捉低剪切率之流動行為，並幫助我們學習處理更進階的非線性黏彈模型。

Figure 5.27 Corotational Maxwell 模型對黏度之預測

同 Figure 5.27

Figure 5.28 Corotational Maxwell 模型對第一正向力差值係數之預測

同 Figure 5.28

Reference: T Osswald and N Rudolph, Polymer Rheology: Fundamentals and Applications (Hanser 2015).