§10.2 具電熱源的熱傳導問題 (Heat Conduction with an Electrical Heat Source)

我們考慮的第一個系統是圓截面具半徑 R 和導電率 (electrical conductivity) k_e ohm^-1cm^-1 的電線 (electrical wire)，通過這條線的電流密度 (current density) 為 I amp/cm²。電流的傳輸是一個不可逆過程，所以一些電能將被轉換成熱 (熱能)，每單位體積之熱生成率可表示成

(10.2-1)

S_e 這個熱源來自於電耗散 (electrical dissipation)，這裡我們假設電線溫度上升量不是很大，所以毋需考慮熱或電傳導率 (thermal or electrical conductivity) 之溫度相依。線的表面維持在溫度 T₀。我們現在介紹如何得到線內部之徑向溫度分佈。

對於能量平衡，我們將厚度 △r 和長度 L 的圓柱殼視為一個系統；見 Fig. 10.2-1。因為沒有流動的流體，故此系統的速度為零 (即 v = 0)，唯一對能量平衡的貢獻為

(10.2-2, 3, 4)

q_r 這個符號表示 "在 r 方向的熱通量"，而 (∙∙∙)|_r=r+Δr 表示 "在位置 r+Δr 估算"。特別注意我們進、出定義為正的 r 方向。

我們把這些量代入 Eq. 10.1-1 的能量平衡，除以 2πLΔr 並 Δr 讓趨近於零

(10.2-5)

表示式左側是 rq_r 對 r 的一階導數，因此 Eq. 10.2-5 變成

(10.2-6)

這是能量通量的第一階微分方程式，可積分得到下式

(10.2-7)

因為以下這個邊界條件，積分常數 C₁ 必需是零

B.C. 1:     r = 0 ， r 方向的熱通量 q_r 不是無窮大     (10.2-8)

因此，熱通量分佈最後的表示式為

(10.2-9)

這說明熱通量隨 r 線性增加。

我們接著接傳立葉定律 q_r = -k(dT/dr) 代入 Eq. 10.2-9，並得到

(10.2-10)

當 k 被假設為定值，這個一階微分方程式可被積分得到

(10.2-11)

積分常數可由以下邊界條件決定之

B.C. 2:     r = R，電線表面溫度維持在 T = T₀     (10.2-12)

因此，C₂ = (S_eR²/4k) + T₀。Equation 10.2-11 變成 

(10.2-13)

Equation 10.2-13 是自電線軸中心至位置 r 之溫度上升抛物線函數 (在 r = 0，溫度最高；r = R，溫度最低，為 T₀)。

一但知道溫度和熱通量分佈後，各種關於系統的訊息均可得到
(i) 溫度上升量之最大值 (maximum temperature rise)，發生於金屬電線的中心軸 (在 r = 0)

(10.2-14)

(ii) 溫度上升量之平均值為 (average temperature rise)

(10.2-15)

因此，平均截面的溫度上升量為最大溫度上升量之一半。

(iii) 電線表面 (r = R) 的熱流出率 (heat outflow) (對於線長 L)

(10.2-16)

這個結果並不意外，因為在穩態時，體積 πR²L 內因電耗散 (electrical dissipation) 生成的熱必需經由表面 (r = R) 離開。

當讀者歷經上述推導過程，可能會有一種已經看過的感覺 (the feeling of déjà vu)。被加熱線的問題和圓管黏滯流動的問題之間有明顯的相似性 (similarity)，唯符號有點不同

也就是當這些量被適當選擇，兩個問題的微分方程式和邊界條件是相同的，且這些物理過程 (physical processes) 被稱之為類同的 (analogous)。並非所有動量傳遞的問題都有類比 (analogs) 於能量和質量輸送。然而，當這樣的類比被找到後，它們可能會非常有用，因為可以自一個領域接管已知結果，然後應用在另一個。例如，對於一個在傾斜平面之液體薄膜黏滯流動(viscous flow in a liquid film on an inclined plane)，讀者應該可以找到其熱傳導的類比。

在電工業，有很多熱傳導問題的例子。電機械 (electrical machinery) 內溫度上升之最小化將延長絕緣壽命 (insulation life)，例如，使用內部液體冷卻定子導體 (liquid-cooled stator conductors) 在非常大的交流發電機 (AC generators)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).