共旋馬克斯威爾模型 (Corotational Maxwell Model) 於拉伸流 (Elongational Flow) 之預測

典型的拉伸流 (elongational 或 stretching flow) 常出現於紡絲 (fiber spinning) 製程，如 Fig 3.13 所示。其它型式的拉伸流也存在於薄膜吹製 (film blowing)、吹氣成形 (blow molding)、熱壓成形 (thermoforming) 等製程。這些類型的流場常被稱為無剪切流場 (shear-free flows)。

Figure 3.13 紡絲

若假設 z 軸為拉伸方向，單軸拉伸流場的速度梯度張量為 (velocity gradient of the velocity vector)

(1)

形變率張量 (rate of deformation tensor) 則為

(2)

在拉伸流場下，渦度張量 (vorticity tensor) 為零

(3)

故剪切力的共旋微分 (corotational derivative) 變成了實質微分 (substantial derivative)

(4)

即 Eq. 4 的第二項等於零，故剪切力的實質時間微分為

(5)

在上式中，應力張量為

(6)

於單軸拉伸流下 (uniaxial elongational flow)，流體的運動被定義為 (έ 為正值)

(6)

將 Eqs. 1 至 6，代入共旋馬克斯威爾模型

(7)

可得到穩態下之各正向力分量

(8)

為了描述兩種不同的正向力差值，可分別定義兩個獨立的黏度方程式 η₁ 和 η_2 如下

(9)

(10)

將 Eq. 8 的各個分量分別代入 Eq. 9 和 Eq. 10 後，可得

η₁ = 3η_{0     (11)}

η₂ = 0     ₍₁₂₎

由 Eq. 11 可得知，共旋馬克斯威爾模型正確預測拉伸黏度為 3 倍的剪切黏度。

Reference: T Osswald and N Rudolph, Polymer Rheology: Fundamentals and Applications (Hanser 2015).