非線性黏彈性模型 (Nonlinear Viscoelastic Model): Part 4

我們已於先前的兩篇文章中 (詳見 "非線性黏彈性模型: Parts 2 & 3")，介紹如何於本質方程式中納入不變量 (inclusion of invariants) (Part 2) 以及納入速度梯度的平方項 (inclusion of quadratic terms in velocity gradient) (Part 3)，藉以提升模型對真實流體數據之預測能力。這裡我們將介紹第三種方法，也就非線性應力項之納入 (inclusion of nonlinear terms in stress)。

Oldroyd 曾提出，似乎沒有太多流變的考量需要把本質方程式中的應力項侷限於線性。因此，接下來，我們將介紹一個具有非線性應力項的本質方程式 (a constitutive equation with nonlinear stress terms)，即 Giesekus 模型如下 (四個參數)

(1,2,3)

在這個模型中，應力張量 (τ) 是溶劑 (τ_s) 和高分子 (τ_p) 貢獻的疊加，此疊加型式相同於動力學中 (kinetic theory) 推導高分子溶液本質方程式的作法。

Giesekus 模型有四個參數，分別為鬆弛時間 λ₁、溶液和高分子對零剪切率黏度的貢獻 η_s 和 η_p、無因次的遷移率因子 α (mobility factor) 。涉及 α 的項與作用於組成高分子之非均向布朗運動 (anisotropic motion) 或非均向流體動力阻力 (anisotropic hydrodynamic drag) 有關。如果我們將 Eq. 3 的 τ_p 以 τ - τ_s = τ + η_s γ̇  取代之，Equations 1 至 3 可以合併寫成單一本質方程式如下

(4)

其中，η₀ 為零切率黏度、λ₂ 為延遲時間、a 為修正的遷移率，它們可由 η_s、η_p、α 等參數表之

(5)

由 Eq. 4 可看出，Giesekus 模型是 Oldroyd 8-constant 模型的一個特殊例子，差別僅在於額外加入一個 τ ‧ τ 的項。如果 a = 0，則 Eq. 4 還原成 convected Jeffreys 模型。因此 convected Jeffreys 模型可以表示成 Eqs. 1 至 3 的疊加且 α = 0。Table 7.3-4 列出幾個文獻常出現的本質方程式，這些方程式均來自於原始 Giesekus 模型之簡化。由此可知，原始完整的 Giesekus 模型對流變性質的預測較具多樣性。

Table 7.3-4 Giesekus 模型 (Eqs. 1 至 3 或 Eq. 4) 的簡化模型

由於 τ ‧ τ 的項之納入，使得 Giesekus 模型相較於 Oldroyds 8-constant 模型更加合理預測物質方程式。例如，(i) 對於 α ≠ 0 或 1，當 λ₂ = 0，黏度的冪次律斜率是 - ，這樣的結果有點不合理的陡峭 (即黏度對剪切率的相依程度過大)；但是，如果我們增加一個值很小的延遲項 (例如，λ₂/λ₁ = 10^-3)，則 dlogη/dlog(γ̇ ) 的值可以變成大於 -1，導致應力的大小總是隨著剪切率增加，較符合實驗趨勢。(ii) 第二正向力係數不是零且其值可相對於第一正向力係數而變，例如，Ψ_2,0 = - (α/2)Ψ_1,0。(iii) 如果 α ≠ 0，拉伸黏度是有界的 (bounded)，並於大的拉伸率時達一個常數。Figures 7.3-5 到 7.3-8 是 Giesekus 模型對各種流場下的物質方程式預測，一般而言，為了得到合理的性質，α 需落於 0 < α < 1/2。

非線性應力項的納入，確實使物質方程式的解析解 (analytical solutions) 難以得到，Table 7.3-5 列出幾個具解析解的物質方程式。然而，對於暫態 (transient) 的物質方程式，必需透過數值方法取得，下方參考文獻的附錄 C (Table C.2) 提供統衘方程式，它們可用於計算暫態物質方程式。

Figure 7.3-5

Figure 7.3-6

Figure 7.3-7

Figure 7.3-8

Table 7.3-5

Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).