平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 2

使用毛細管黏度計 (capillary viscometer) 需要 40 克左右的樣品，而旋轉的平板流變儀 (rotational parallel-plate rheometer) 僅需約 1 克，平板流變儀如 Fig. 10.12 所示。在高轉速下，平板內的流體將受離心力 (centrifugal force) 而甩出，稱之為邊緣破裂 (edge fracture)，因此，可信數據所對應的最高剪切率將大伏受限，上限約在 100 到 500 1/s 之間，需視流體的黏彈性程度而定，彈性成份越高，則越易發生邊緣破裂。反觀，毛細管黏度計卻不受上述現象所限制，因此最高剪切率可達數千以上。平板流變儀常搭配毛細管黏度計，建構完整的黏度曲線 (剪切率範圍約 10^-2 至 10⁴ 1/s)。

Figure 10.12

於 「平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 1」，我們已結合連續方程式、運動方程式、牛頓本質方程式，解出牛頓流體 (黏度為定值) 於空間中的速度 v_θ(r, z) 分佈。為了對付通用流體 (general fluids) 或者性質未知的流體，這裡的作法將不再假設牛頓本質方程式，而是從已知的流速分佈出發。所以，推導的結果適用於任何流體，包括流體速度 (Eq. 2)、剪切率 (Eq. 4)、黏度 (Eq. 20)。

當平板流變儀的上板 (upper plate) 以固定角速度 Ω 旋轉，速度向量 v 唯一不為零的分量為 v_θ

(1)

有了這個速度場 (velocity field) 並假設不可壓縮流體 (incompressible fluid)，連續方程式 (continuity equation) 告訴我們 ¶v_θ/¶θ = 0，故 v_θ 是 r 和 z 的函數，若合理假設它的型式為 v_θ(r, z) = zf(r)，且將邊界條件 (於 z = 0，v_θ = 0；於 z = H，v_θ = rΩ) 代入 v_θ 求解，可得

(2)

形變率張量 γ ̇ 為 (rate-of-deformation tensor) [註: 張量表示為粗體或 "₌" ]

(3, 4)

形變率張量的大小 (magnitude of the rate-of-deformation tensor) 為純量 γ ̇ = |γ ̇| = rΩ/H (Eq. 4)，我們稱 γ ̇ 為剪切率。值得注意的是，剪切率為徑向位置 r 的函數，由於平板的邊緣剪切率 (rim shear rate) 為 γ ̇_R = RΩ/H，所以 Eq. 4 的剪切率可寫成

(5)

流體所受應變 γ(0,t) 也為 r 的函數，即

(6)

如果我們檢視 Eq. 2 且考慮流動發生在特定的位置 r，並忽略 θ 方向的曲率 (curvature)，則旋轉的平板流變儀非常相似於剪切的剪切流 (simple shear flow; v_x = γ ̇*y)。類比於剪切流，於是我們可以說，θ 是流動 (flow) 的方向 (x)、z 是梯度 (gradient or shear) 的方向 (y)、r 是中立 (neutral) 的方向 (z)，我們也可說平板流變儀近似於單一方向流 (unidirectional flow) 。而最接近這個假設的位置是在邊緣 (rim)，即 r = R 的位置，因此我們可以使用下面的式子計算黏度

(7, 8, 9)

為了計算黏度 (Eq. 9)，由於實驗上已知邊緣剪切率 γ ̇_R (= RΩ/H)，接下來我們將尋求真實剪切力 τ_zθ|_r=R 之表示式 (true shear stress at r = R)。

若假設剪切應力張量是對稱 (symmetry) 的，則圓柱座標 (r, θ, z) 系統的應力可寫成

(10)

根據此張量以及假設的速度場，運動方程式可簡化成為

(11)

如果我們進步假設壓力不隨 θ 而變，可將 Eq. 11 的 θ 分量積分得到

(12, 13)

其中，C(r) 是 r 的未知函數。因此，Equation 13 告訴我們很重要的結果，即剪切應力 τ_zθ 是 r 的函數。換句話說，如果想要知道剪切應力的值 (例如在上板的位置，即 z = H)，我們必需在特定的徑向位置 r 進行量測，才能評估該點的黏度。然而，這種量測極具難度。所以，另一種簡單且可行的方式是先取得轉動上板所需之總力矩 Ｔ (total torque)，然後進一步將總力矩 T 透過關係式連結至黏度 η。需注意這裡的黏度 η 是指流體於 r = R 的黏度 (注意: 黏度是 r 的函數)，也就是對應剪切率為 γ ̇_R (= RΩ/H) 的黏度。此間連結的關係式類似於毛細管黏度計的 Weissenberg-Rabinowitsch 校正，我們將於下面介紹。

總力矩 Ｔ 可表示為

(14)

在任意位置 r 的黏度可寫成

(15)

根據 Eq. 15，我們可以將 Eq. 14 的 -τ_zθ|_z=H 以 η(r)γ ̇_r 取代而得到下式 (一般情況，黏度是 r 的函數 ，也就是剪切率的函數)

(16)

已知 r = γ ̇R/γ ̇_R (即 Eq. 5)，則 dr = d(γ ̇R/γ ̇_R)。將這些變數變換 (change of variable) 關係式代入 Eq. 16，可得

(17)

為了消去積分，我們使用 Leibnitz 法則將 Eq. 17 的兩側對 γ ̇_R 微分可得 Eq. 19

(18, 19)

由 Eq. 19 可推得穩態剪切黏度表示式為

(20)

比對 Eqs. 9 和 20 兩式可知，可以得到我們之前想要得到的 τ_zθ(r=R) (< 0)，即 

τ_zθ(r=R) = -Ｔ/(2πR³) * [3 + dln(Ｔ/2πR³)/dln(γ ̇_R) ]     (21)

為了得到 τ_zθ(r=R)，第一步需先收集不同邊緣剪切率對總力矩的數據 (如 Fig. 10.13 所示)，然後取得 dln(Ｔ/2πR³)/dln(γ ̇_R) 之值。第二步是將 dln(Ｔ/2πR³)/dln(γ ̇_R) 代入 Eq. 20 的中括號，最後得到邊緣剪切率 γ ̇_R 對應之黏度值 η(γ ̇_R)。

這裡值得檢驗一下 Eq. 20，對於牛頓流體，中括號內的微分值 dln(Ｔ/2πR³)/dln(γ ̇_R) 自然等於 1 (因為 Ｔ 正比於 γ ̇_R)，故毋需修正，可得黏度 μ 為

μ = 表觀剪切力 / 邊緣剪切率 = (2Ｔ/(πR³)) / γ ̇_R     (22)

但是，對於非牛頓流體，dln(Ｔ/2πR³)/dln(γ ̇_R) 一般小於 1，故經過 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式修正後的真實剪切力將較表觀剪切力來得小，故真實黏度也將較表觀黏度來得低些 (見 Fig. 10.14)。

Figure 10.13

Figure 10.13 經 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式修正前後的黏度數據比較，在高剪切率的修正伏度約 -8%

最後提醒一點，由 Eq. 6 可知，應變 γ 沿著徑向位置而異，所以材料並非均受到相同的應變，因此對於應變敏感的材料 (例如，相分離的混合物或液晶)，平板流變儀的結果將是材料的平均響應 (a blurring of the material properties)。


Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).