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2019年9月16日

平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 2

使用毛細管黏度計 (capillary viscometer) 需要 40 克左右的樣品,而旋轉的平板流變儀 (rotational parallel-plate rheometer) 僅需約 1 克,平板流變儀如 Fig. 10.12 所示。在高轉速下,平板內的流體將受離心力 (centrifugal force) 而甩出,稱之為邊緣破裂 (edge fracture),因此,可信數據所對應的最高剪切率將大伏受限,上限約在 100 到 500 1/s 之間,需視流體的黏彈性程度而定,彈性成份越高,則越易發生邊緣破裂。反觀,毛細管黏度計卻不受上述現象所限制,因此最高剪切率可達數千以上。平板流變儀常搭配毛細管黏度計,建構完整的黏度曲線 (剪切率範圍約 10-2 至 104 1/s)。


Figure 10.12

平板流變儀 (Parallel-Plate Rheometer): Part 1,我們已結合連續方程式、運動方程式、牛頓本質方程式,解出牛頓流體 (黏度為定值) 於空間中的速度 vθ(r, z) 分佈。為了對付通用流體 (general fluids) 或者性質未知的流體,這裡的作法將不再假設牛頓本質方程式,而是從已知的流速分佈出發。所以,推導的結果適用於任何流體,包括流體速度 (Eq. 2)、剪切率 (Eq. 4)、黏度 (Eq. 20)。

當平板流變儀的上板 (upper plate) 以固定角速度 Ω 旋轉,速度向量 v 唯一不為零的分量
為 vθ
(1)
有了這個速度場 (velocity field) 並假設不可壓縮流體 (incompressible fluid),連續方程式 (continuity equation) 告訴我們 vθ/θ = 0,故 vθ rz 的函數,若合理假設它的型式為 vθ(r, z) = zf(r),且將邊界條件 (於 z = 0,vθ = 0;於 z = Hvθ = rΩ) 代入 vθ 求解,可得
(2)
形變率張量 γ ̇ 為 (rate-of-deformation tensor) [註: 張量表示為粗體或 "=" ]
(3, 4)
形變率張量的大小 (magnitude of the rate-of-deformation tensor) 為純量 γ ̇ = |γ ̇| = rΩ/H (Eq. 4),我們稱 γ ̇ 為剪切率。值得注意的是,剪切率為徑向位置 r 的函數,由於平板的邊緣剪切率 (rim shear rate) 為 γ ̇R = RΩ/H,所以 Eq. 4 的剪切率可寫成
(5)
流體所受應變 γ(0,t) 也為 r 的函數,即
(6)
如果我們檢視 Eq. 2 且考慮流動發生在特定的位置 r,並忽略 θ 方向的曲率 (curvature),則旋轉的平板流變儀非常相似於剪切的剪切流 (simple shear flow; vx = γ ̇*y)。類比於剪切流,於是我們可以說,θ 是流動 (flow) 的方向 (x)、z 是梯度 (gradient or shear) 的方向 (y)、r 是中立 (neutral) 的方向 (z),我們也可說平板流變儀近似於單一方向流 (unidirectional flow) 。而最接近這個假設的位置是在邊緣 (rim),即 r = R 的位置,因此我們可以使用下面的式子計算黏度
(7, 8, 9)
為了計算黏度 (Eq. 9),由於實驗上已知邊緣剪切率 γ ̇R (RΩ/H),接下來我們將尋求真實剪切力 τ|r=R 之表示式 (true shear stress at r = R)

若假設剪切應力張量是對稱 (symmetry) 的,則圓柱座標 (rθ, z) 系統的應力可寫成

(10)
根據此張量以及假設的速度場,運動方程式可簡化成為
(11)
如果我們進步假設壓力不隨 θ 而變,可將 Eq. 11 的 θ 分量積分得到
(12, 13)
其中,C(r) 是 r 的未知函數。因此,Equation 13 告訴我們很重要的結果,即剪切應力 τ 是 r 的函數。換句話說,如果想要知道剪切應力的值 (例如在上板的位置,即 z = H),我們必需在特定的徑向位置 r 進行量測,才能評估該點的黏度。然而,這種量測極具難度。所以,另一種簡單且可行的方式是先取得轉動上板所需之總力矩 T (total torque),然後進一步將總力矩 T 透過關係式連結至黏度 η。需注意這裡的黏度 η 是指流體於 r = R 的黏度 (注意: 黏度是 r 的函數),也就是對應剪切率為 γ ̇R (= RΩ/H) 的黏度。此間連結的關係式類似於毛細管黏度計的 Weissenberg-Rabinowitsch 校正,我們將於下面介紹。

總力矩 T 可表示為

(14)
在任意位置 r 的黏度可寫成
(15)
根據 Eq. 15,我們可以將 Eq. 14 的 -τ|z=H 以 η(r)γ ̇r 取代而得到下式 (一般情況,黏度是 的函數 ,也就是剪切率的函數)
(16)
已知 rγ ̇R/γ ̇R (即 Eq. 5),則 dr = d(γ ̇R/γ ̇R)。將這些變數變換 (change of variable) 關係式代入 Eq. 16,可得
(17)
為了消去積分,我們使用 Leibnitz 法則將 Eq. 17 的兩側對 γ ̇R 微分可得 Eq. 19
(18, 19)
由 Eq. 19 可推得穩態剪切黏度表示式為
(20)
比對 Eqs. 9 和 20 兩式可知,可以得到我們之前想要得到的 τ(r=R) (< 0),即 
τ(r=R) = -T/(2πR3) * [3 + dln(T/2πR3)/dln(γ ̇R) ]     (21)
為了得到 τ(r=R),第一步需先收集不同邊緣剪切率對總力矩的數據 (如 Fig. 10.13 所示),然後取得 dln(T/2πR3)/dln(γ ̇R) 之值。第二步是將 dln(T/2πR3)/dln(γ ̇R) 代入 Eq. 20 的中括號,最後得到邊緣剪切率 γ ̇R 對應之黏度值 η(γ ̇R)

這裡值得檢驗一下 Eq. 20,對於牛頓流體,中括號內的微分值 dln(T/2πR3)/dln(γ ̇R自然等於 1 (因為 T 正比於 γ ̇R),故毋需修正,可得黏度 μ 
μ = 表觀剪切力 / 邊緣剪切率 = (2T/(πR3)) / γ ̇R     (22)
但是,對於非牛頓流體,dln(T/2πR3)/dln(γ ̇R) 一般小於 1,故經過 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式修正後的真實剪切力將較表觀剪切力來得小,故真實黏度也將較表觀黏度來得低些 (見 Fig. 10.14)。

Figure 10.13

Figure 10.13 經 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式修正前後的黏度數據比較,在高剪切率的修正伏度約 -8%

最後提醒一點,由 Eq. 6 可知,應變 γ 沿著徑向位置而異,所以材料並非均受到相同的應變,因此對於應變敏感的材料 (例如,相分離的混合物或液晶),平板流變儀的結果將是材料的平均響應 (a blurring of the material properties)。


Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).

1 則留言:

  1. 通常防止spin out的方法可以 1.降低量測溫度 2.降低量測的gap
    不過一個要注意的是parallel plates的gap若小於300microns則量測黏度必須修正
    可參考 Connelly and Greener (1985)

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