黏度函數及溫度相依性 (Viscosity Functions and Its Temperature Dependence)

Revised: 2022/3/28

黏度是射出成型模型中重要的材料性質，它是剪切率、溫度、壓力的函數。因為剪切致稀的效應，牛頓本質方程式 (Newtonian constitutive equation; Eq. 1) 需稍做修改，使黏度成為剪切率相依的函數如 Eq. 2

(1)

(2)

其中，τ 和 γ ̇ (= ▽v + (▽v)^T) 分別為應力張量和應變率張量，Equation 2 的 η(γ ̇) 是剪切速率的函數，故 Eq. 2 定義了廣義牛頓流體 (generalized Newtonian fluid; GNF)。

以下介紹幾個常被用於射出成型模擬的黏度函數為 (i) Power-law model、(ii) Carreau model 或 Carreau-Yasuda model、(iii) Cross model、(iv) Bingham model。

(i) Power-law model (兩個參數: m 和 n) 主要用於描述高剪切率區間的黏度，其函數為

(3)

其中，m 和 n 為常數，n 是冪次律的指標，其值決定剪切致稀的程度 (Fig. 7.1)。當 m = μ、n = 1 時，power-law model 還原為牛頓流體，即黏度為定值 (η = μ)。對於高分子熔體，一般來說 n < 1 ，n 值越小，剪切致稀越明顯 (常見的範圍是 0.3 < n < 1)。然而，於射出成型的高速充填過程，不平衡的流動 (unbalanced flow; Fig. 3.2) 將額外產生低剪切率的區間，power-law model 可能無法描述低剪切率的黏度。Figure 1 是利用 Power-law model 描述毛細管黏度計的高剪切率黏度數據。

Figure 1

(ii.a) Carreau model 的黏度函數為 (四個參數: η₀、η_∞、λ、n)

(4a)

其中，η₀ 是零剪切率黏度，η_∞ 是上極限牛頓黏度 (upper limiting Newtonian viscosity)，λ 是流體的時間常數，n 是冪次律的指標。此模型可細緻補捉到曲線的細節，λ 決定黏度變化發生的位置 (Fig. 7.2)。當 η_∞ = 0 且在高剪速率下，Eq. 4a 變成 Power-law model (m = η₀λ^n-1)。

(ii.b) Carreau-Yasuda model 的黏度函數為 (五個參數: η₀、η_∞、λ、n、a)

(4b)

相較於 Carreau-Yasuda model，此模型可透過 a 調整黏度變化發生位置的曲率 (curvature; Fig. 7.2)。

(iii) Cross model 的黏度函數為 (三個參數: η₀、τ*、n)

(5)

此式結合了牛頓區間和冪次律剪切致稀區間。當剪切率趨近於零，Equation 5 預測零剪切率黏度 η₀；當剪切率很大時，則預測冪次律行為。Equation 5 的 τ* 是常數，物理上代表牛頓流體過渡至冪次律流體之臨界剪切應力值。相較於 Carreau-Yasuda model，Cross model 所需的參數較少 (三個) 且能捕捉黏度對剪切率的相依關係，因此，Cross model 常被用於商用模擬軟體。

(iv) Bingham model 的黏度函數為 (兩個參數: τ_y、μ₀)

(6)

此模型所代表的行為和上述的幾個模型有著基礎上的不同，Bingham 模型用於描述具屈服應力 (yield stress) 的流體，如 Fig. 7.3 所示。此模型說明，當應力尚未達到屈服應力 τ_y 以前 (τ_y 恆為正)，流體是不會流動的；當應力遠大於 τ_y，則流體以固定黏度 μ₀ 流動。

最後，為了將溫度對零剪切速率黏度 η₀ 的影響加以考量，常見的作法是將 Cross model (Eq. 5) 結合下方的 WLF 方程式 (Eq. 7)，稱之為 Cross-WLF model。

(7)

Equation 7 的 D₁ 是參考溫度 T₀ 對應的零剪切率黏度 (即 T = T₀，η₀ = D₁)。值得特別注意的是，Cross model 本身自動反應了溫度對臨界剪切速率 γ ̇* (≈ τ*/η₀) 的影響，詳細的解釋如下。Cross model (Eq. 5) 可近似成

η = η₀ / [1 + (η₀γ ̇/τ*)^1-n] ≈ η₀ / [1 + (γ ̇/γ ̇*)^1-n]     (5a)

因此，當溫度升高時，Eq. 5a 的 η₀ 變小 (向下平移)，且 γ ̇* 變大 (向右平移)，故整條黏度曲線向下且向右平移，此趨勢符合實驗觀察。在這裡，我們假設 τ* 不受溫度的影響而改變，這個假設也大致符合實驗觀察。

有些商業化模流軟體額外考慮壓力 P 對零剪切速率黏度的效應 (見 Fig. 2 模型)，透過參數 D₃ 修正參考溫度 T_c 和係數 A₂ (D₃ 需由毛細管流變儀的背壓實驗決定之)，此模型稱為 Modified Cross Model (3)。常壓下 (P = 0.1 MPa)，D₃P = 0.019 K，修正量趨近需零，不同溫度所對應的黏度曲線如 Fig. 3 所示；高壓下 (P = 50 MPa)，D₃P = 9.5 K，修正量不可忽略，黏度曲線如 Fig. 4 所示。比較 Figs. 3、4 在同一個溫度下的黏度曲線，黏度受壓力的影響而明顯增大。

Figure 2 Moldex3D 模流軟體的 modified Cross model (3)。

Figure 3 常壓下 (P = 0.1 MPa)。

Figure 4 高壓下 (P = 50 MPa)。

References:
1. PK Kennedy, R Zheng, Flow Analysis of Injection Molds, 2nd ed (Hanser 2013).
2. FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).