Phan-Thien-Tanner (PTT) 黏彈模型之本質方程式與物質函數 (Constitutive Equations of Phan-Thien-Tanner Model and Its Predictions)

多模態 (multi-mode) Phan-Thien-Tanner (PTT) 模型之本質方程式為

(1, 2, 3)

本文將介紹單一模態 (single-mode, i = 1) PTT 模型預測之穩態剪切流物質函數 (material functions for steady shear flow)，因為 i = 1，所以 Eq. 2 的本質方程式簡化成為

Z(tr τ) τ + λτ₍₁₎ + (λξ/2){γ_dot ∙ τ + τ ∙ γ_dot} = ηγ_dot   (4)

首先，對於穩態剪切流 (steady shear flow)，速度分佈為 v_x(y) = γ_dot y。Equation 4 經展開後，可得知應力張量 τ 的九個分量中，有四個分量為零 (即 τ_xz = τ_zx = 0、τ_yz = τ_zy = 0)，其它不為零的分量則以下方式子表之 (Eqs. 5-8)，依序為 τ_xx、τ_yy、τ_zz、τ_yx (其中，τ_yx = τ_xy)

Z(trτ) τ_xx - 2λγ_dot τ_yx + λξγ_dot τ_yx = 0   (5)

Z(trτ) τ_yy + λξγ_dot τ_yx = 0   (6)

Z(trτ) τ_zz = 0   (7)

Z(trτ) τ_yx - λγ_dot τ_yy + (λξγ_dot/2)(τ_xx + τ_yy) = ηγ_dot   (8)

由 Eq. 7 得知 τ_zz = 0。將 Eqs. 5-8 再一次整理後可得 Eqs. 9-11

Z(trτ) τ_xx = (2 - ξ) λγ_dot τ_yx   (9)

Z(trτ) τ_yy = - λξγ_dot τ_yx   (10)

Z(trτ) τ_yx + (ξ/2 - 1) λγ_dot τ_yy + (λξγ_dot/2) τ_xx = ηγ_dot   (11)

將 Eq. 10 除以 Eq. 9 可得 τ_yy (註: 如果 ξ = 0，稱為 affine PTT model，則 τ_yy = 0)

τ_yy = [- ξ/(2 - ξ)] τ_xx   (12)

由 Eq. 9 可得 τ_yx

τ_yx = Z(trτ) τ_xx/[(2 - ξ) λγ_dot]       (13)

將 Eqs. 12 和 13 代入 Eq. 11 可得 τ_xx

(Z(trτ))² τ_xx + (2 - ξ)λ²ξ(γ_dot)² τ_xx = ηλ(2 - ξ)(γ_dot)²   (14)

Equation 3 的 Z 有兩種型式，當指數值 (ελ/η) trτ 很小時，Z = exp[(ελ/η) trτ] ≈ 1 + (ελ/η) trτ。在穩態剪切流下 (τ_zz = 0)，Z 為 

Z = exp[(ελ/η)(τ_xx + τ_yy)]   (15)

或

Z = 1 + (ελ/η)(τ_xx + τ_yy)   (16)

將 Eq. 15 (exponential-PTT)、Eq. 16 (linear-PTT) 結合 Eq. 12，然後分別代入 Eq. 14，以數值方法求 τ_xx (e-PTT)，或以公式求 τ_xx (l-PTT；一元三次方程式)，可得到 τ_xx、τ_yy、τ_yx。接著將這些應力分量代入下方物質函數 (Eqs. 17-19)，可分別得到 PTT 模型對穩態剪切流之黏度、第一和第二正向力係數預測。

η = τ_yx/γ_dot   (17)

Ψ₁ = (τ_xx - τ_yy)/(γ_dot)²   (18)

Ψ₂ = (τ_yy - τ_zz)/(γ_dot)²   (19)

Figures 1、2 分別為 l-PTT 模型對無次次的 τ_yx、τ_xx 之預測。

Figure 1 (reproduced)

Figure 2 (reproduced)

Figures 3、4 分別為 l-PTT 模型對暫態剪切流場、穩態剪切及穩態拉伸流場的黏度預測。

Figure 3 ξ = 0.001, ε = 0.01 (l-PTT model)

Figure 4 ξ = 0 (affine l-PTT model)

Reference:
1. RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).
2. MA Alves, FT Pinho, PJ Oliveira, "Study of steady pipe and channel flows of a single-mode Phan-Thien-Tanner fluid," J. Non-Newtonian Fluid Mech. 101, 55 (2001).
3. RI Tanner, Engineering Rheology, 2nd ed (Oxford 2002).