§1.2 廣義化牛頓黏度定律 (Generalization of Newton's Law of Viscosity)

若考慮一個非常通用的流動模式 (general flow pattern)，在此模式下，空間中各點的流體速度方向、大小隨時間而變，因此速度的分量可表示成

(1.2-1)

在這個情況下，將有九個應力分量 τ_ij (i 和 j 可指定為 x、y、z)，而不會只有出現在牛頓黏度定律的 τ_yx 而已 (見 Eq. 1.1-2)。 

(1.1-2)

接下來我們將定義這些應力分量。如 Fig. 1.2-1 所示，流場中的一個小的方形體積單元 (cube-shaped volume element)，其每個面都是單位面積 (unit area)。作用於陰影表面的力有兩種，包分別為壓力 (pressure) 和黏滯力 (viscous force)。我們知道壓力總是垂直於暴露的表面，因此作用於 Figs. 1.2-1a, b, c 的三個陰影面積的壓力分別為 pδ_x 、pδ_y、 pδ_z。無論流體處於靜止或是運動狀態，壓力均將存在。

Figure 1.2-1 壓力與黏滯力

當流體內有速度梯度時 (velocity gradients)，黏滯力始存在。Figures 1.2-1a,b,c 的三個陰影面積所受的黏滯力分別為向量 τ_x、τ_y、τ_z (均與受力平面有一夾角)，這三個向量均有其分量，例如， τ_x 有分量 τ_xx、τ_xy、τ_xz。Table 1.2-1 匯整分子應力張量 (molecular stress tensor) 的各分量，包括熱力學壓力 (thermodynamic pressure) 和黏滯應力 (viscous stresses)。為了方便起見，分子應力 π_ij 被定義為兩者的相加，即

(1.2-2)

關於分子應力的物理意義，有以下兩種解釋
(i) π_ij = pδ_ij + τ_ij 表示 j 方向的黏滯力作用於垂直於 i 方向的單位面積，此力是位於較小 x_i 區域的流體作用於較大 x_i 的流體。這種解釋方法常用於描述流體施力於固體表面。
(ii) π_ij = pδ_ij + τ_ij 表示正 i 方向之 j 方向黏滯動量通量，此動量是自較小 x_i 區域傳向較大 x_i 區域。
π_xx = p + τ_xx、π_yy = p + τ_yy、π_zz = p + τ_zz 稱為正向力 (normal stresses)，其它的分量 π_xy = τ_xy、π_yz = τ_yz 等則稱為剪切應力 (shear stresses)。嚴格來說，π 應稱為分子應力張量 (molecular stress tensor)，τ 為黏滯應力張量 (viscous stress tensor)。必需一提的是，文獻中有兩種不同的應力符號規則 (stress sign conventions) 被使用，其中一派是遵循 Bird, Armstrong, and Hassager, Dynamics of Polymeric Fluids (Wiley 1986)，也就是本文的用法， π = pI + τ 和 τ = - μ(▽v + (▽v)^T)，另一派是遵循一般工程的符號規則 (usual engineering sign convention)，為 π_e = - pI + τ_e 和 τ_e = + μ(▽v + (▽v)^T)。兩種應力符號規則間的關係為 π = - π_e 和 τ = - τ_e。

Table 1.2-1 分子應力 = 壓力 + 黏滯力

接下來我們想了解這些應力 (stresses) 該如何關聯至流體的速度梯度 (velocity gradients)? 為了廣義化 Eq. 1.1-2，我們對應力設下的限制如下

(i) 黏滯應力是所有速度梯度的線性組合

(1.2-3)

這裡的 81 個數值 μ_ijkl 是黏度係數 (viscosity coefficients)。
(ii) 我們宣稱時間導數和時間積分不應出現在表示式中 (但是對黏彈流體，這樣是不合理的)。
(iii) 如果流體處於單純的旋轉狀態 (pure rotation)，我們不預期任何黏滯力會存在。這個要求導致一個必要的結果，那就是 τ_ij 必需是速度梯度的對稱組合。這裡指的是，如果 i 和 j 互換，速度梯度的組合將不會改變，經證明唯有下方的速度梯度之對稱線性組合滿足上述要求

(1.2-4)

(iv) 如果流體是等向性的 (isotropic)，Eq. 1.2-4 兩個表示式前的係數需是純量，所以，τ_ij 可表示為

(1.2-5)

這裡我們已將黏度係數由 81 個減為 2 個!

(v) 當然，我們希望在簡單的剪切流場下，Eq. 1.2-5 可簡化成 Eq. 1.1-2。對於這個基礎的流場，Eq. 1.2-5 的確可簡化成 τ_yx = A (dv_x/dy)，因此這個純量常數 A 必需等於負號的黏度 μ。

(vi) 大部分的流體力學家均同意純量常數 B 可等於 2μ/3 - κ，其中 κ 為膨脹黏度 (dilatational viscosity)。B 的此表式示是基於動力學理論 (kinetic theory)，對於低密度的單原子氣體，κ = 0。

因此，經廣義化牛頓黏度定律後 (Eq. 1.1-2)，可以得到一組共九個的關係式 (六個是獨立的)

(1.2-6)

這裡，τ_{ij =} τ_ji (i 和 j 可分別為 1、2、3)。這些關係式可寫成更精簡的向量張量表示式如下

(1.2-7)

其中，δ 是單位張量 (unit tensor)、▽v 是速度梯度張量 (velocity gradient tensor)、(▽v)^T 是速度梯度張量的轉置 (transpose)、(▽∙v) 是速度向量的散度 (divergence of the velocity vector, div v)。

在廣義化的牛頓黏度定律表示式中 (Eq. 1.1-2)，若欲表徵流體需要兩個係數，一個是黏度 μ，另一個是膨脹黏度 κ。通常在解流體力學的問題，我們不需要知道 κ 的值。因為如果流體是氣體，我們常假設其為理想的單原子氣體，其 κ 值為零。如果流體是液體，我們常假設其為不可壓縮 (incompressible)，在第三章我們證明不可壓縮流體的 ▽∙v = 0，因此包含 κ 的項可以忽略。膨脹黏度在描述多原子氣體的聲波吸收 (sound absorption in polyatomic gases)、及描述含有氣泡的流體之流體動力學相當重要 (fluid dynamics of liquids containing gas bubbles)。

Equation 1.2-7 (或 1.2-6) 是一個很重要且常用的方程式，它於不同座標系的完整表示式列於下方表格。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).