剪切流場之黏滯耗散 (Viscous Dissipation in Shear Flow)

如 Fig. 2.2.3 所示，考慮兩個無限板距平行板 (infinite parallel plates) 所產生之穩態簡單剪切流場 (steady simple shear flow)，黏滯耗散 (viscous dissipation) 效應將造成流體溫度升高。我們假設冪次律流體 (power-law fluid)，試決定流體溫度隨位置的變化 (此處不考慮溫度對黏度造成的影響)。

Figure 2.2.3

對於兩個平行平板間的簡單剪切流場，速度分佈為

(1)

其中，v₀ 為上平板的速度 (y = B)，下平板的速度為零 (y = 0)。對於穩態溫度分佈，能量方程式變成

(2)

對於冪次律流體，黏度與剪切率的關係為 η = m(v₀/B)^n-1，將之代入 Eq. 2 可得

(3)

 邊界條件是等溫的壁 (isothermal walls)，即

(4)

積分可得

(5)

由 Eq. 5 可得知，最大的溫度發生在平行平板的中間 (midplane)，即 y = B/2，故最大溫度與平板溫度的差值為

(6)

其中，Br (= m(v₀/B)ⁿ⁺¹B²/(k_TT₀)) 為 Brinkman number，是衡量黏滯耗散 (viscous dissipation) 重要程度的指標。如果為牛頓流體 (n = 1)，則

Br = m(v₀/B)²B²/(k_TT₀)     (7)

由 Eq. 7 可知，為了減少量測結果受到黏滯耗散造成的溫度變化，我們應儘量維持剪切率 (v₀/B) 或板距越小越好，另一方面，流體的熱傳導率 (k_T, thermal conductivity) 若越大，則黏滯耗散的影響越小。事實上，Br 是代表黏滯耗散所生成的熱比上傳導所攜出系統的熱，當 Br > 1，代表溫度場將被黏滯耗散影響。

Reference: CW Macosko, Rheology: Principles, Measurements, and Applications (Wiley-VCH 1994).