利用非直接的方法定量壁滑效應 (Quantifying Slip Violation Using Indirect Method)

本文介紹如何利用平面庫頁特剪切流 (planar Couette shear flow) 定量壁滑動 (wall slip)。如 Fig. 4.1 所示，如果流體與上、下平板的相對速度均為 V_s，則流體感受到的真實剪切率 γ_T_dot 為 (true shear rate)

(1)

其中，γ_n_dot = V/H 為表觀剪切率 (nominal or apparent shear rate)，V_s 為滑動速度，V (= 2V_s + Hγ_T_dot) 為上板的移動速度。若將 Fig. 4.1 的外插長度 b (= V_s/γ_T_dot) 代入 Eq. 1，可以得到

(2)

Figure 4.1

由 Eq. 2 得知，當 b << H 時，則壁滑效應對剪切流場的影響可以被忽略，也就是沒有壁滑動。如果平板間距 H (plan separation) 夠小，導致真實剪切率不等於表觀剪切率，則透過表觀剪切率量測，V_s 和 b 可以在固定剪切應力的情況下決定之 (實驗在任意兩個不同的板距 H₁、H₂ 進行)

(3, 4)

其中，α = γ_n_dot(H₂)/γ_n_dot(H₁)。Equations 3 和 4 背後的假設是，在不同板距 H₁、H₂ 時，若剪切應力相同，所對應的真實壁剪切率相同 (即 γ_T_dot(H₁) = γ_T_dot(H₂)；應力與剪切率有一對一的對應關係)，且 V_s 和 b 為剪切應力的函數。Figure 4.3 是利用平面庫頁特流場，定量窄分子量分佈的纏結 1,4-polybutadiene 之壁滑動 (M_w = 3.15×10⁵ g/mol; M_w/M_n = 1.04)，圖中繪製穩態剪切力 σ_ss (steady-state shear stress) 對表觀剪切率 γ_n_dot 的數據。除了在最低的剪切力值較不明顯外，隨著 H 變小，需要施予越來越大的表觀剪切率，才能產生同樣大小的剪切應力值，表示壁滑動越來越明顯。使用 Eq. 3，得到 b 值為 85 ± 9 μm；使用 Eq. 4，得知 V_s 隨剪切應力呈線性增加。

Figure 4.3

Hatzikiriakos 和 Dealy [1991] 成功使用平面庫頁特剪切流定量 HDPE 樹脂之壁滑，他們將 γ_T_dot 對 1/H 的作圖，發現是線性的，並且斜率隨剪切應力 σ 增加而變大；見 Fig. 3。由直線的擬合 (straight-line fits) 取得的壁滑速度指出兩個流動區間，當 σ_c ≅ 0.09 MPa，無壁滑的條件成立；當 σ > σ_c，壁滑非常明顯 V_s~O(10⁴ μm)。而且在高剪切應力下，壁滑速度是應力和溫度的函數 V_s = mσⁿ，其中，n 值約 3.3 且其值基本上與溫度無關，m 隨溫度和基材表面化學 (substrate surface chemistry) 而變；見 Fig. 4。Hatzikiriakos 和 Dealy 更發現，常用於關聯整體高分子流變性質與溫度的 Williams-Landel-Ferry (WLF) 方程式，足以描述 m 的溫度相依性，這指出 V_s 和流體流變的關係。

壁滑速度隨著溫度升高而變大

對於毛細管黏度計，Equation 2 可推廣成為

γ_T_dot = γ_n_dot(H₁) - 4V_s/R     (5)

我們可以注意到，Eq. 5 和 Eq. 1 僅差異在係數的大小 (2 vs. 4)。故仿照平面庫頁特剪切流，我們也可以得到類似 Eq. 4 的表示式，即

V_s = [γ_n_dot(R₁)R₁R₂/(4(R₂ - R₁))] (1 - β)    (6)

其中，β = γ_n_dot(R₂)/γ_n_dot(R₁)。


Reference: SG Hatzikiriakos, KG Migler (eds.), Polymer Processing Instabilities: Control and Understanding (Marcel Dekker 2005), Chapter 4, by LA Archer.