平面庫頁特剪切流場之黏滯加熱 (Viscous Heating in Planar Couette Shear Flow)

於平面庫頁特剪切流場中 (planar Couette shear flow)，流體因為黏滯加熱 (viscous heating) 造成單位體積的熱生成率為 (heat generation rate per unit volume)

(1)

另一方面，流體透過在剪切平面 (shear surfaces) 的熱傳導，可以造成每單位體積的熱移除率為 (heat removal)

(2)

其中，k 是流體的熱傳導率，H 是平板的間距，△T 是溫度的變化。如果熱生成率 (Eq. 1) 大於熱移除率 (Eq. 2)，流體的溫度將升高。一般來說，若維持剪切平板的表面為固定溫度 T，則黏度隨溫度的變化可近似成

(3)

在溫度上升程度不大的情況下 (即 T ≈ T_ref)，Eq. 3 可寫成

η(T) ≈ η(T_ref)[1 + β(T_ref - T)]     (4)

所以黏度變化的程度 △η/η(T_ref) 為

△η/η(T_ref) = β(T_ref - T) = β△T     (5)

若黏滯耗散 (viscous dissipation) 造成流體的溫度變化為 △T，我們可以將 Eq. 2 代入 Eq. 5，可得

△η/η(T_ref) = β(q_c_dot)H²/k = β(σγ_dot)H²/k     (6)

Equation 6 右側最後的項為 Nahme number (Na)，可以用來粗估黏滯加熱在一般流動情況下的嚴重程度，當 Na ≥ 1，黏滯加熱將會毛細管量測造成顯著的誤差。對大部分的流體，β 正值，所以黏滯加熱將造成流體的黏度隨剪切的時間拉長而下降 (time-dependent fashion)。由 Eq. 6 可清楚看出，黏滯加熱對於具有大的黏度溫度係數 β 之流體在高速流場下影響較大。此外，如果量測是在非常小的板距 (H) 進行， 則黏滯加熱反而可以被大伏度降低。最後，在有些情況下，當量測一但達到穩態後便立即停止，也可減少黏滯加熱造成的量測誤差。

Reference: SG Hatzikiriakos, KG Migler (eds.), Polymer Processing Instabilities: Control and Understanding (Marcel Dekker 2005), Chapter 4, by LA Archer.