Problem 10A.7: 原子筆之黏滯加熱 (Viscous Heating in a Ball-Point Pen)

試決定，當我們寫字時，原子筆墨水明顯的黏度下降，是來自於 (1) 剪切致稀 (shear thinning；因為非牛頓效應造成黏度下降)，還是 (2) 溫度致稀 (temperature thinning；因為黏滯加熱造成黏度下降)。如果溫度上升低於 1 K，則溫度致稀可視為不重要。試使用下方 Eq. 1 和數據，估算溫度上升量。

(1 or 10.4-10)

解答

這裡我們使用平行板的近似 (parallel-plate approximation) 表述原子筆的尖頭 (如 Figs. 10.4-1 和 2)，在 x = b/2 的位置，黏滯加熱可造成最大的溫度上升，Eq. 1 變成

(2)

將上方的數據代入 Eq. 2 後，可得到墨水的溫度上升量遠小於 1K。

(3)

因此，溫度致稀不是造成黏度下降的主因，剪切致稀可能才是。另外，此例中，Br = μv_b²/(k_TT₀) << 1，也說明黏滯加熱可被忽略，即便等效剪切率非常高 (= v_b/b = 3×10⁴ 1/s)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).