利用壓力驅動牛頓流體通過槽縫 (Pressure Driven Flow of a Newtonian Fluid through a Slit)

利用壓力驅動流體通過兩個平行平板 (pressure driven flow between two parallel plates) 是高分子加工最常見的流場之一 (Fig. 5.12)，當推導槽縫流 (slit flow) 的支配方程式，我們這裡考慮一個穩態完全發展流場 (fully developed flow)，即忽略入口效應 (entrance effects)。

Figure 5.12

這種流場是單一方向的 (unidirectional)，也就是說僅有一個不為零的速度分量，因此，對於不可壓縮流體 (incompressible fluid)，連續方程式 (continuity equation) 變成

(1)

Equation 1 說明流體在 z 方向的流速，不隨 z 而改變。對於不可壓縮的牛頓流體，密度和黏度為定值，運動方程式 (equation of motion) 可簡化成 Navier-Stokes 方程式，其 z 方向的動量平衡方程式變成

(2)

而運動方程式的 x 和 y 分量則變成

(3)

Equation 3 指出，對於完全發展的流場，總壓力 (total pressure) 僅為 z 的函數。再者，因為速度向量 u (= u_zδ_z) 不隨 z 而改變，壓力梯度 ¶p/¶z (= dp/dz) 必需是常數，所以

(4)

Equation 2 的動量方程式因此可寫成

(5)

當兩個無壁滑邊界條件 (two no-slip conditions) 被用於這個問題，即 u_z(±h/2) = 0，積分兩次並利用這兩個邊界條件決定兩個積分常數後，可得速度函數

(6)

值得一提的是，當上述任一無壁滑邊界條件 (u_z(+h/2) = 0 或 u_z(-h/2) = 0) 被對稱條件 (symmetry condition) 取代 (y = 0，du_z/dy = 0)，仍可得到相同的速度分佈曲線。通道內的平均流體速度可從上式的積分得到，即

(7)

故可知，最大流速為平均速度的 1.5 倍。體積流率 Q 為

(8)

其中，W 為通道的寬度。


Reference: T Osswald, JP Hernandez-Ortiz, Polymer Processing: Modeling and Simulation (Hanser 2006).