§3.3 機械能方程式 (The Equation of Mechanical Energy)

在一個流動系統中，機械能不是守恆的，但是這並未能阻止我們為這個量發展一個變化方程式 (equation of change)。事實上，我們可以得到很多不守恆的量之變化方程式，像是內能 (internal energy)、焓 (enthalpy)、熵 (entropy)。只涉及機械項之機械能變化方程式可以從運動方程式推得。

我們將速度向量 v 與運動方程式 (Eq. 3.2-9) 進行內積 (dot product)，並利用連續方程式 (Eq. 3.1-4) 的結果做一些重排，同時也將包含 p 和 τ 的項均拆成兩個部分，最後可以得到動能的變化方程式 (equation of change for kinetic energy) 如 Eq. 3.3-1。

(3.1-4)

(3.2-9)

(3.3-1)

目前為止我們並不太清楚 Eq. 3.3-1 中，p(▽∙v) 和 (τ:▽v) 這兩個項已經被賦予的物理意義。事實上，這兩個相同的項將以異號出現在內能的變化方程式 (equation of change for internal energy)。

我們接著介紹每單位質量勢能 Φ_head (potential energy)，其被定義為 g = -▽Φ_head。因此，Eq. 3.3-1 變成以下形式

(3.3-2)

這是動能和勢能的變化方程式 (equation of change for kinetic-plus-potential energy)。因為 Eqs. 3.3-1 和 3.3-2 只包含機械項，它們均被稱為機械能的變化方程式 (equation of change for mechanical energy)。Equation 3.3-2 常在巨觀的機械能平衡 (macroscopic mechanical energy balance or engineering Bernoulli equation) 使用到。

p(▽∙v) 這個項可以是正的或負的，這得取決於流體是正在進行膨脹 (expansion) 還是壓縮 (compression)；因此，氣體在壓縮機 (compressors)、渦輪機 (turbines)、震波管 (shock tubes) 可以造成相當程度的溫度變化。

對於牛頓流體，(-τ:▽v) 這個項永遠是正值，因為它可以被寫成數個平方項的和

(3.3-3)

上式定義了兩個量 Φ_v 和 Ψ_v。

(-τ:▽v) 這個量描述發生於所有流動系統中，機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)，有時稱為黏滯耗散加熱 (viscous dissipation heating)。這種加熱可造成具高黏度和高速度梯度系統可觀的溫度上升，像是在潤滑 (lubrication)、快速擠出 (rapid extrusion)、高速飛行 (high-speed flight) 的過程。

當我們說到恆溫系統 (isothermal systems)，我們是指系統並未受到外界所外加的溫度梯度，以及並未受到膨脹 (expansion)、收縮 (contraction)、黏滯耗散 (viscous dissipation) 等現象而有明顯溫度變化。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).