§11.2 特別形式的能量方程式 (Special Forms of the Energy Equation)

最方便使用的能量方程式之形式是有溫度出現於式中，接下來我們將推導這樣的方程式，因為它可用於預測系統的溫度曲線。

首先，我們將能量方程式 (Eq. 1) 減去機械能方程式 (Eq. 2)，可以得到內能的變化方程式如 Eq. 3

(1)

(2)

(3)

接下來我們的興趣在於比較機械能方程式 (Eq. 2) 和內能方程式 (Eq. 3)。我們可以發現 p(▽∙v) 和 (τ:▽v) 這兩個項均出現在這兩個方程式中，但卻是異號 (p(▽∙v) vs. -p(▽∙v) 和 +(τ:▽v) vs. -(τ:▽v))。因此這些項描述機械能 (mechanical) 和熱能 (thermal) 的相互轉換 (interconversion)。p(▽∙v) 這個項可以是正值也可以是負值，將取決於流體是否正在膨脹或是收縮，因此它代表一種可逆型式的內換 (reversible mode of interchange)。另一方面，對於牛頓流體，(-τ:▽v) 這個量恆為正值，因此代表機械能轉換成內能之不可逆降解 (irreversible degradation)；對於黏彈流體，(-τ:▽v) 這個量可以不為正值，因為有些能量可以被儲存為彈性能量 (elastic energy)。

使用 Table 3.5-1 的實質導數 (substantial derivative)，我們可以將變化方程式寫得更簡潔。使用下方 Eq. 4，則內能變化方程式 (Eq. 3) 可寫成實質導數之型式如 Eq. 5

(4)

(5)

接下來我們將把內能轉換成焓 (enthalpy)，於是我們使用了

(6)

Equation 6 使用了標準的假設，即自平衡熱力學 (equilibrium thermodynamics) 推導的熱力學公式，將可局部地應用在非平衡系統 (applied locally for nonequilibrium systems)。當我們將 Eq. 6 代入 Eq. 5 並使用連續方程式 (Table 3.5-1 的 Eq. A)，可得

(7)

接下來我們可使用下方 Eq. 8，它假設焓是 p 和 T 的函數 (此假設限制下方的推導僅適用牛頓流體)

(8)

然後可得到一個以流體速度移動的流體單元，其焓的變化

(9)

 因為 Eq. 7 等於 Eq. 9，所以可得

(10)

此式稱為溫度的變化方程式 (equation of change for temperature)，它是以熱通量向量 q 和黏滯動量通量張量 τ (viscous momentum flux tensor) 表示。為了使用 Eq. 10，我們需要這兩個通量的表示式。

(i) 當使用傅立葉定律 (Fourier's law)，即 q = -k▽T，-(▽∙q) 將變成 +(▽∙k▽T)，如果熱傳導率 (thermal conductivity) 為定值，則變成 +k▽²T。

(ii) 當使用牛頓定律 (Newton's law)，即

(11)

-(τ:▽v) 將變成 μΦ_v + κΨ_v，

(12)

因為溫度的變化方程式幾乎很少使用它完整的通用性 (complete generality)，所以這裡我們並未嘗試將 Eq. 12 代入 Eq. 10。 

Table 3.5-1

因此，我們接下來討論溫度變化方程式的幾個特別版本，在這些版本中，我們具定值 k 的傅立葉定律，並忽略黏滯耗散的項，因為黏滯加熱只有在具相當速度梯度的流動才是重要的。

(i) 對於理想氣體 (ideal gas)，(¶lnρ/¶lnT)_p = -1，則

(13)

或者，如果使用關係式 C_p^{^} - C_V^{^} = R、狀態方程式 pM = ρRT、連續方程式，則我們可得

(14)

(ii) 對於等壓的流體流動系統 (fluid flowing in a constant pressure system)，Dp/Dt = 0，則

(15)

(iii) 對於具固定密度的流體 (fluid with constant density)，(¶lnρ/¶lnT)_p = 0，則

(16)

(iv) 對於靜止的固體 (stationary solid)，速度 v 為零，則

(17)

以上五個方程式 (Eqs. 13-17) 是最常在教科書和研究發表中出現的，當然，若有需要的話，我們也可回到具最少限制的 Eq. 10。當遇到化學、電、核子的來源項 (source term)，我們可以採碰到才處理的方式 (on an ad hoc basis)。

Equation 17 是固體的熱傳導方程式，此著名的方程式是先由傅立葉推導出來的，可用於各種不同的邊界和初始條件。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).