§A.4 向量與張量的微分運算 (Vector and Tensor Differential Operations)

Revised: 2022/3/8

向量微分算符 ▽ (vector differential operator)，被稱為 "nabla" 或 "del"，其在直角坐標 (rectangular coordinates) 定義為

(A.4-1)

其中，δ_i 是單位向量 (unit vectors)，x_i 是有關於 1、2、3 軸的變數 (即卡氏座標 (Cartesian coordinates) 的 x₁、x₂、x₃，常被稱為 x、y、z)。▽ 這個符號是向量算符 (vector-operator)，它就如同向量具有分量，但是它無法單獨存在，它必需對一個純量 (scalar)、向量 (vector)、或張量 (tensor) 函數進行運算。在本節我們將整理 ▽ 被用於純量、向量、張量之各種運算。如同在 §§A.2、3，我們將向量和張量拆解成它們的分量，然後使用 Eqs. A.2-14、15 和 Eqs. A.3-1 至 6。請記住，以下寫成分量的方程式只適用在直角座標，因為其單位向量 δ_i 是常數；我們於 §§A.6、7 討論曲線座標 (curvilinear coordinates)。

1. 純量場的梯度 (The Gradient of a Scalar Field)

如果純量 s 是變數 x₁、x₂、x₃ 的函數，▽ 運算於 s 變成

(A.4-2)

 ▽s (或 grad s) 稱為純量場 s 的梯度。基本的運算性質如下

(A.4-3, 4, 5)

2. 向量場的散度 (The Divergence of a Vector Field)

如果向量 v 是空間變數 x₁、x₂、x₃ 的函數，然後與算符 ▽ 形成內積或純量積 (dot product or scalar product)

(A.4-6)

 ▽∙v 稱為 v 的散度 (有時簡寫成 div v)，基本的運算性質如下

(A.4-7, 8, 9)

3. 向量場的旋度 (The Curl of a Vector Field)

略。

4. 向量場的梯度 (The Gradient of a Vector Field)

除了內積外 (▽ ∙ v)，我們還可形成並向量積 ▽v (dyadic product) 

(A.4-11)

稱為向量 v 的梯度，有時寫成 grad v。它是二階的張量 (second-order tensor)，它的分量 ij 是 (¶/¶x_i)v_j，轉置是 (transpose)

(A.4-12)

它的分量 ij 是 (¶/¶x_j)v_i。請注意 ▽v ≠ v▽ 和 (▽v)^T ≠ v▽。

5. 張量場的散度 (The Divergence of a Tensor Field)

如果張量 τ 是空間變數 x₁、x₂、x₃ 的函數，然後與算符 ▽ 形成向量乘積 ▽ ∙ τ

(A.4-13)

稱為張量 τ 的散度 (divergence of the tensor τ; div τ)。第 k 分量為 Σ_i(¶/¶x_i)τ_ik。如果 τ 是 svw 的乘積，則  

(A.4-14)

6. 純量場的拉普拉斯 (The Laplacian of a Scalar Field)

如果我們將純量函數 s 的梯度再取散度，可得

(A.4-15)

作用在 s 的微分運算符號是 ▽²，在直角座標 ▽² 為

(A.4-16)

稱為拉普拉斯運算符號 (Laplacian operator)。請注意，(▽ ∙ ▽s)、(▽ ∙ ▽)s、▽²s 和 △s 都是相等的量。

7. 向量場的拉普拉斯 (The Laplacian of a Vector Field)

如果我們將向量函數 v 的梯度再取散度，可得

(A.4-17)

在直角座標中，其第 k 分量為 ▽²v_k。Equation A.4-17 的 ▽ ∙ ▽v 也可寫成 (▽ ∙ ▽)v 或 ▽²v。

8. 其它微分關係 (Other Differential Relations)

很多恆等式可以使用已給的定義來證明:

(A.4-18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28)

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).