§3.5 使用實質導數表述之變化方程式 (The Equations of Change in terms of the Substantial Derivative)

Revised: 2022/3/4

在繼續往下走之前，我們點出在輸送現象問題中，我們有機會碰到幾種不同的時間導數 (time derivatives)。這裡我們以一個具濃厚家鄉味的例子說明它們，這個例子是於密西西比河 (Mississippi River) 觀察魚的濃度 (concentration of fish)。因為魚會到處游，故魚的濃度將是位置 (x, y, z) 和時間的函數 (t)。

時間偏導數 ¶/¶t (The Partial Time Derivative)

假設我們站在橋上 (bridge)，觀察正下方的魚之濃度隨時間之變化，我們可以記錄魚的濃度隨時間的變化速率 (time rate of change of the fish concentration at a fixed location)，這個結果 ¶c/¶t|_x,y,z 是固定位置 (x, y, z) 下，c 的偏導數 (partial derivative)。

時間全導數 d/dt (The Total Time Derivative)

假想我們跳上一艘馬達小艇 (motor boat)，並在河流中加速，有時往上游，有時往下游，有時橫向移動，在這其間，我們一直觀察魚的濃度。在任一個瞬間，觀察到的魚濃度隨時間的變化率為

(3.5-1)

其中，dx/dt, dy/dt, dz/dt 是小艇的速度分量。 

時間實質導數 D/Dt (The Substantial Time Derivative)

接著我們跳上一條獨木舟 (canoe)，僅隨著水流漂浮並觀察魚的濃度，在此情況下，觀察者的速度與水流的速度 v 相同 (分量為 v_x, v_y, v_z)。在任一個瞬間，我們所觀察之魚的濃度隨時間之變化率為

(3.5-2)

其中，特別的算符 (special operator) D/Dt = ¶/¶t + v ∙ ▽ 稱為實質導數 (substantial derivative；表示隨時間的變化率是與實體物質一起運動所報告的)，也被稱為 material derivative、hydrodynamic derivative、derivative following the motion。

接下來我們必需知道如何把具 ¶/¶t 型式的方程式轉換成 D/Dt 型式。對於任一純量方程式 f(x, y, z, t)，我們可以做以下的處理

(3.5-3)

其中，根據連續方程式 (¶ρ/¶t + ▽∙ ρv = 0)，Eq. 3.5-3 第二行的第二個括號內的量為零，因此，Eq. 3.5-3 可寫成向量型式

(3.5-4)

同樣地，對於任何向量函數 f(x, y, z, t)

(3.5-5)

利用這些方程式我們可以將 §§3.1 至 3.4 具 ¶/¶t 型式的變化方程式 (Eqs. 3.1-4, 3.2-9, 3.3-1, 3.4-1)，重寫成 Table 3.5-1 中具 D/Dt 型式的方程式。[註]

(3.1-4；連續方程式)

(3.2-9；運動方程式)

(3.3-1；動能變化方程式)

(3.4-1；角動量變化方程式)

Table 3.5-1 的 Eq. A 述說，當我們隨著流體的速度移動，因為流體的壓縮 [(▽∙ v) < 0 or div v < 0] 或膨脹 [(▽∙ v) > 0] 造成密度的增加或減少。Equation B 則可以解釋成：質量 (mass) × 加速度 (acceleration) 等於壓力 (pressure forces)、黏滯力 (viscous forces)、外力 (external forces) 之總和。換句話說，Eq. 3.2-9 等同於牛頓第二運動定律 (Newton's second law of motion)，被應用於一個流體小斑點 (blob of fluid)，它的表面 (envelope) 隨流體速度 v 進行局部的移動。

接下來，我們簡短討論三種常見的簡化運動方程式

(i) 對於 ρ 和 μ 為定值，將 τ 的牛頓表示式 (Eq. 1.2-7) 代入運動方程式

(1.2-7)

可以得到非常著名的 Navier-Stokes 方程式 (Navier 首先透過分子論證 (molecular arguments) 推得，而 Stokes 透過連續體論證 (continuum arguments)) 

(3.5-6, 7)

在 Eq. 3.5-7 中，我們使用第二章介紹的修正壓力 (modified pressure) 𝒫 = p + ρgh，h 是於重力場 (gravitational field) 的高度，gh 是單位質量的重力位能 (gravitational potential energy per unit mass)，Eq. 3.5-6 是描述恆溫氣體和液體流動的標準出發點。

必需記住的是，當假設 ρ 固定時，狀態方程式 (在固定溫度 T) 在 p 對 ρ 的圖是一條垂直線，見 Fig. 3.5-1。因此，雖然壓力梯度 (pressure gradients) 和瞬間的差值 (instantaneous differences) 可從 Eqs. 3.5-6 或 3.5-7 決定，但是絕對的壓力 (absolute pressure) 無法自 ρ 和 T 決定。

(ii) 當 Navier-Stokes 方程式的加速度項 (acceleration terms) 被忽略，也就是 ρ(Dv/Dt) = 0，可得

(3.5-8)

上式為 Stokes 流動方程式 (Stokes flow equation)，有時被稱為蠕動流方程式 (creeping flow equation)，因為當流動非常緩慢時，ρ(v ∙ ▽v) 這個項可以被丟棄 (速度的平方)。對於某些流動問題，例如 Hagen-Poiseuille 管流，ρ(v ∙ ▽v) 這個項為零，所以就沒有意味流動緩慢這限制了。Stokes 流動方程式在潤滑理論 (lubrication theory)、粒子在懸浮液的運動 (the study of particle motions in suspension)、流體流經孔洞介質 (flow through porous media)、微生物的游動 (swimming of microbes) 等研究都相當重要，此類議題具有相當多的參考文獻。

(iii) 當黏滯力被忽略，即 ▽∙ τ = 0，運動方程式變成 

(3.5-9)

此為針對非黏滯流體 (inviscid fluids) 的 Euler 方程式。當然，沒有所謂的非黏滯流體，但是在很多流動中，黏滯力是相對不重要的。例如，飛機翼附近的流動 (flow around airplane wings) (除了近固體邊界處除外)、河水在橋座上游的表面流動 (flow of rivers around the upstream surfaces of bridge abutments)、一些關於可壓縮氣體的動態問題 (compressible gas dynamics)、洋流的流動 (flow of ocean currents)。

[註]

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).