§4.1 時間相依的牛頓流體流動 (Time-Dependent Flow of Newtonian Fluids)

Revised: 2022/3/22

A. 問題描述

一個具固定密度和黏度的半無窮體之液體 (semi-infinite body of liquid)，其下方被一固體水平表面限制 (xz 平面)。一開始流體和表面是靜止的，於時間 t = 0，固體表面突然以速度 v₀ 朝正的 x 方向移動，如 Fig. 4.1-1 所示。試求流體速度 v_x 隨 y 和 t 變化的函數 v_x(y, t)。假設在 x 方向沒有壓力梯度或重力，且為層流。

Fig. 4.1-1

B. 結果與討論

對於這個系統，v_x = v_x(y, t)、v_y = 0、v_z = 0，由下方 Table B.4 我們可以發現連續方程式直接被滿足，而從 Table B.5 可得

(1)

其中，ν (= μ/ρ) 是動黏度 (kinematic viscosity)。初始和邊界條件為
I.C.:                                                at t ≤ 0, v_x = 0 for all y             (2)
B.C.1:                                             at y = 0, v_x = v₀ for all t > 0     (3)
B.C.2:                                             at y = ∞, v_x = 0 for all t > 0      (4)
接下來我們介紹一個無因次的速度 φ = v_x/v₀，則 Eq. 1 變成

(5)

初始和邊界條件分別也因此變成 φ(y, 0) = 0、φ(0, t) = 1、φ(∞, t) = 0。因為初始和邊界條件只是數字，Eq. 5 的解必需是這樣的形式 φ = φ(y, t; ν)。然而，因為 φ 是一個無因次的函數，y、t、ν 必需總是以無因次的組合出現。 我們因此結論

(6)

這是結合 (獨立) 變數法 (method of combination of (independent) variables)，而 "4" 被包含於 Eq. 6 中，可讓最終結果看起來更簡潔。這裡我們直接提供 v_x(y, t) 的結果

(7)

其中，erfc η 稱為互補誤差函數 (complementary error function)。Equation 7 的結果繪於 Fig. 4.1-2。值得注意的是，當我們把結果以無因次的量呈現，我們僅需一條曲線而已。

Fig. 4.1-2

erfc η 是一個自 1 遞減至 0 的單調遞減函數 (monotone decreasing function)，當 η ≈ 2，也就是 y/(4νt)^0.5 = 2)，erfc η ≈ 0.01。我們可以利用這個結果定義一個邊界層厚度 δ (boundary-layer thickness)，δ 指的是在距離 y 的位置，流體具有的速度 v_x 為邊界速度 v₀ 的百分之一而已 (即 v_x = 0.01v₀)；因此，δ = 4(νt)^0.5 是動量擴散的自然長度尺度 (natural length scale for the diffusion of momentum)。此距離是衡量動量已在流體穿透的程度，請特別注意，邊界層厚度正比於經過時間的開根號，即 δ~t^0.5，這是擴散行為的特色。

我們可以使用上述結果於流變儀的平行板夾具 (parallel-plate fixture)，若板距設定為 1 mm (= δ)，流體的黏度為 100 Pa∙s (= μ)，密度為 1000 kg/m³ (= ρ)，代入 δ = 4(νt)^0.5 後可得知，上板透過流體擴散方式傳遞動量至下板所需時間為 t = 6.25×10^-7 s。另一方面，機械式流變儀的最大探測頻率 f_max 為 100 Hz，故我們可以得知動量傳遞所需的時間 t 將遠小於最小探測週期 T_min (= 1/f_max)，即 t << T_min ≈ 0.01 s，故動量的傳遞可視為瞬間完成。

Table B.4

Table B.5

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).