Example 12.1-1: 加熱一個半無限平板 (Heating a Semi-Infinite Slab)

一個固體材料 (solid material) 占有自 y = 0 到 y = ∞ 的空間，並在一開始時維持溫度 T₀。當  t = 0，在 y = 0 位置的表面忽然被升溫至溫度 T₁，並於 t > 0 之後，維持在該溫度。這是一個非穩態熱傳導的問題，試求時間相依的溫度曲線 T(y, t) (time-dependent temperature profiles)。

解答

首先，溫度的變化方程式 (equation of change for temperature) 為

(11.2-5)

對於固體，當上式結合傅立葉熱傳導定律 (Fourier's law of heat conduction) 則變成

(12.1-1)

如果熱傳導率 (thermal conductivity) 可以被假設與溫度和位置無關，則 Eq. 12.1-1 變成

(12.1-2)

其中，α 為固體的熱擴散率 (thermal diffusivity)。

對於加熱一個半無限平板的問題 (heating a semi-infinite slab)，Eq. 12.1-2 變成

(12.1-3)

這裡，我們介紹一個無因次的溫度差 Θ = (T - T₀)/(T₁ - T₀)，而初始和邊界條件為 (initial and boundary conditions)
I.C.:                                                  at t ≤ 0,   Θ = 0   for all y            (12.1-4)
B.C. 1:                                              at y = 0,   Θ = 1   for all t > 0     (12.1-5)
B.C. 2:                                              at y = ∞,   Θ = 0   for all t > 0     (12.1-6)
求解後得到

(12.1-7)

或

(12.1-8)

溫度曲線的結果繪於 Fig. 1。當  x 軸的 y/(4αt)^0.5 ≈ 2，誤差函數 (error function) erf(y/(4αt)^0.5) ≈ 0.99，(T - T₀)/(T₁ - T₀) ≈ 0.01。所以，當 y 方向的熱穿透厚度 δ_T 為 (thermal penetration thickness)

(12.1-9)

也就是說，當 y > δ_T ，溫度的改變量將少於溫差 T₁ - T₀ 的百分之一  (1%)。因此，若我們已知 α 的值 (高分子約為 10^-7 m²/s)，則可透過 Eq. 11 估算時間為 t 時，熱量傳遞的距離 。請注意，如果 δ_T 小於平板厚度 (slab thickness)，則 Eq. 12.1-8 是很好的近似解；但是，如果 δ_T 相當於或大於平板厚度，則必需使用 Example 12.1-2 的級數解 (series solution)。

壁的熱通量 (wall heat flux) 可由 Eq. 10 計算之，即

(12.1-10)

因此，壁的熱通量隨 t^-1/2 而變 (q_y|_y=0~t^-1/2)，而熱穿透厚度則隨 t^1/2 而變 (δ_T~t^1/2)。

Figure 1

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).