冪次律流體於直圓管之流動 (Flow of a Power Law Fluid in a Straight Circular Tube)

管流 (tube flow) 常見於不同類型的高分子加工，例如，擠壓模 (extrusion dies)、射出模具 (injection molds) 的注道 (sprue) 和流道系統 (runner systems)。當推導壓力驅動管流的支配方程式時 (也稱為 Hagen-Poiseuille flow)，我們假設流場是穩態 (steady)、完全發展 (fully developed)、無入口效應 (no entrance effects)、軸對稱的 (axis-symmertic)，如 Fig. 5.13 所示。

Figure 5.13

因此，我們知道 u_z = u_z(r)、u_r = u_θ = 0 且 p = p(z)。在這樣的流場下，z 方向的動量方程式變成

(1)

然而，因為 p = p(z) 且  τ_rz = τ_rz(r)，唯有當上式的兩側均為常數，才能滿足上式，經積分可得

(2)

因為在 r = 0 的位置，應力 τ_rz 必需為有限值 (finite)，所以 c₁ = 0。對於一個冪次律流體 (power-law fluid)，因為黏度的表示式為 η = -m|du_z/dr|^n-1 (一般而言 n < 1；對於牛頓流體， n = 1 且 m = μ)，故應力的表示式可寫成

(3)

結合 Eqs. 2 和 3，可以得到冪次律流體的速度梯度為 (velocity gradient)

(4)

積分 Eq. 4 並使用零壁滑的邊界條件找出積分常數 (在 r = R，u_z = 0)，最後可得速度 u_z 是 r 的函數

(5)

其中， u_z_bar 為算術平均速度 (arithmetic average of the velocities)

(6)

最後，體積流率 Q 等於截面積 πR² 乘以平均速度 u_z_bar

(7)

對於牛頓流體 (n = 1)，由 Eq. 4 可知，流體在壁的速度梯度為 du_z/dr|_r=R = - (p₀ - p_L)R/2μL = - 4Q/πR³。流變領域常見的形變率張量 γ̇  定義為 (rate-of-deformation tensor)

γ̇  = ▽v + (▽v)^T     (8)

張量 γ̇  的大小 (magnitude) 為 |γ̇ | = + [(γ̇:γ̇ )/2]^0.5 = 4Q/πR³，故牛頓流體在壁的剪切率為 4Q/πR³，也被稱為表觀的壁剪切率 (apparent wall shear rate)。反觀，對於冪次律流體 (n < 1)，其在壁的速度梯度為

du_z/dr|_r=R = - [(p₀ - p_L)R/2mL]^1/n     (9)

Reference: T Osswald, JP Hernandez-Ortiz, Polymer Processing: Modeling and Simulation (Hanser 2006).