動態響應 (Dynamic Response)

Revised: 2022/3/22

在振盪剪切實驗中 (oscillatory shear experiment)，流體樣品被一個低頻率的應變所激發 (low frequency strain input)，我們記錄其應力響應 (stress output)。Figure 1 說明三種材料對應之應變輸入 γ_xy (擾動) 和應力輸出 τ_yx (響應)；Fig. 1a 為完美的彈性固體、Fig. 1b 為理想黏性流體、Fig. 1c 為黏彈性流體。

如 Fig. 1a 所示，如果樣品為一完美之彈性或虎克固體 (elastic or Hookean solid)，輸入的應變和輸出的應力可以分別表示成

(1, 2)

其中，t 是時間，ω (= 2πf, angular frequency) 是角頻率，f 是應變的激發頻率。如預期，應力的響應與輸入的應變同向 (in phase)。因此，當計算剪切模數時，暫態效應 (transient effects) 相互刪除，故彈性模數 G 為

(3)

如 Fig. 1b 所示，如果樣品為理想黏性流體，應力的響應正比於應變速率 γ̇ _xy = γ̇ ₀cosωt (strain rate)，兩者具 π/2 的遲滯 (lag)

(4, 5)

(6)

其中，γ̇ ₀ = γ₀ω。我們可以使用上面的方程式並代入牛頓流體的定義計算黏度

(7)

於上式中，我們可以清楚看到暫態效應可相互刪去，得到一固定黏度值。

(a) 完美彈性體

(b) 理想黏性流體

(c) 黏彈性流體
Figure 1 三種主要材料之應變輸入 (擾動) 與應力輸出 (響應)。

如 Fig. 1c 所示，對於黏彈性材料 (例如高分子)，其響應行為介於完美彈性材料與理想黏性材料之間，其黏彈行為受到時間尺度 (time scale) 和溫度所影響。黏彈性流體的應變輸入和應力輸出分別為

(8, 9)

我們可以發現應力相較於應變有一個遲滯的相位 δ

(10)

 G* 被稱為複數模數 (complex modulus) 且圖示於 Fig. 2.30，向量的長度代表 G* 的絕對值。因此，G* 是向量和的結果，G' 稱為儲存模數 (storage modulus)，可表示成

(11)

G' 可衡量振盪剪切過程中被儲存的能量 (stored energy)。當外在流場終止後，此能量可以完全用於形變的恢復 (recovery of the deformation)。G" 稱為損耗模數 (loss modulus)，可表示成

(12)

G" 可衡量振盪剪切過程中被耗散的能量 (energy dissipated)，例如，熱的生成或用於結構的改變。Figure 2 是成形材料 PE-HD 的頻率掃描圖譜 (frequency sweep)，我們可以清楚發現，G'、G" 是頻率與溫度的函數。我們時常將 G" 與 G' 之比值稱為損耗因子 (loss factor) 或損耗正切 (loss tangent)

(13)

Figure 2.30

Figure 2

整理上述三種材料的應力響應行為，我們可以得到以下結論

Elastic solid:     δ = 0 or tanδ = 0     G' >> G"

Viscous fluid:     δ = 90^o or tanδ = ∞     G" >> G'

Viscoelastic fluid:     0 < δ (^o) < 90 or 0 < tanδ < ∞     G"/G' 取決於時間尺度和溫度

當材料由液體過渡至固體，例如熱固性材料的熟化 (curing) 使系統達到凝膠點 (gel point)，tanδ > 1 (G" > G') 將逐漸轉變成 tanδ < 1 (G' > G")。

References:

(1) T Osswald, N Rudolph, Polymer Rheology: Fundamentals and Applications (Hanser 

2015).

(2) TG Mezger, The Rheology Handbook, 3rd ed (Vincentz 2011).