非恆溫流動問題: 具黏滯加熱之圓管流動 (Nonisothermal Flow Problem: Flow in a Circular Die with Viscous Heating)

塑料熔體 (molten plastic) 進入一水平的圓管，管半徑為 R、長度為 L、溫度為 T₀。流體的流速夠高，以致於黏滯加熱 (viscous heating) 很重要。試求管內之溫度分佈，並假設 (i) 管壁溫度維持在 T₀；(ii) 流體可以被冪次律黏度 (power-law viscosity) η = m(-dv_z/dr)^n-1 描述，且 m 和 n 不具溫度相依性；(iii) 流體在入口端 (die entrance) 具全展流速度曲線 (fully developed velocity profile)；(iv) 密度 (density)、熱容量 (heat capacity)、熱傳導率 (thermal conductivity) 不隨溫度或壓力而改變。

如果聚乙烯熔體 (polyethylene melt) 進入圓管的溫度是 463 K，且壁剪切應力 (wall shear stress) 是 2×10⁵ Pa，試求預測的最大溫度? 此熔體具以下物理性質: ρC_p^{^} = 1.80×10⁶ J/m³∙K；k = 0.25 W/m∙K；n = 0.50；m = 6.9×10³ Pa∙s^1/2。 圓管半徑和長度分別為 0.0394 和 1.28 cm。

解答
經過一長串的處理後 (見 DPL1)，無因次溫度上升 (dimensionless temperature rise) Θ(ξ, ζ) 的最終表示式具有以下型式

對於問題給定的特別實驗數據，最大的溫度將發生在圓管出口 (tube exit)，也就是 z = 0.0128 m 處。在出口處，無因次軸距離 (dimensionless axial distance) ζ 為 (經除以 Péclet number (Pé = ρC_p^{^}v_maxR/k) 後)

從 Fig. 4.4-2 經內插可得最大無因次溫度上升 Θ_max 約等於 0.12，因此我們可以從下式 (Eq. 4.4-48)

得到

對於絕熱管壁問題 (insulated wall problem)，溫度上升量可高達 12 K。因此，黏滯加熱可在擠壓操作 (extrusion operations) 中產生不可忽略的溫度上升量。

我們必需強調，這裡的推導僅適用於不具溫度相依性的物理性質 (temperature-independent physical properties)。但是，如果溫度上升量高於幾度，則 m 的溫度相依性將不能完全被忽略。所以，當估算流速 (flow speeds) 或壓降 (pressure drops) 時，僅可將 Fig. 4.4-2 之結果應用於黏滯加熱才剛開始變得重要之情況 (viscous heating just begins to be important)。

以下針對 Fig. 4.4-2a 的溫度曲線稍作說明。(i) 在固定毛細管位置的情況下 (即 z 值為定值)，由 Eq. 4.4-62 可知，ζ 值將僅取決於最大流速 v_max。當 ζ 值很大 (即低流速，例如 ζ = 0.50)，接近管中心的流體溫度將高於壁溫 T₀；當 ζ 值很小 (即高流速，例如 ζ = 0.02)，接近管壁的流體溫度將達最大值，這是黏滯加熱的效應。(ii) 在固定最大流速的情況下 (即 v_max 值為定值或固定剪切速率)，由 Eq. 4.4-62 可知，ζ 值將僅取決於軸向位置 z。當 ζ 值很小 (即 z 很小，或毛細管上游處，例如 ζ = 0.02)，接近管壁的流體溫度將達最大值。若 ζ 值逐漸變大 (即 z 變大，或往毛細管下游處移動，例如 ζ = 0.10)，則管中每個位置的溫度均上升，但是溫度曲線大致維持不變。

 重新繪製 Fig. 4.4-2a 曲線

Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).