方向分佈函數與向列相之有序參數 (Orientational Distribution Function & Order Parameter for Nematics)

方向分佈函數 (Orientational Distribution Function)

為了區別向列相 (nematic phase) 和均向相 (isotropic phase)，讓我們考慮分子方向性的分佈 (distribution of molecular orientation)。若我們以單位向量 u 代表分子的長軸方向；見 Fig. 5.1(a)。在均向相，u 均均分佈於一個單位球 |u| = 1 (unit sphere)；在向列相，u 在球的分佈變成不均勻。讓 ψ(u) 為 u 在單位球的分佈函數，並且被歸一化為 (normalized)

(1)

其中，du 代表球 |u| = 1 的表面元素 (surface element)，並且這個積分是全部的表面。

在均向相，ψ(u) 為常數並與 u 無相依性，因此 [註: 單位球的面積為 4π]

(2)

另一方面，若在向列相，ψ(u) 將朝導向體 n 的方向定向 (oriented toward the direction of the director n)，故 ψ(u) 變成非均向。

向列相之有序參數 (Order Parameter for Nematics)

讓我們考慮一個參數來表徵向列相中的非均向性 ψ(u)。這個參數的明顯候選人是一階矩 <u_α> (α = x, y, z) (first moment)，其中，<∙∙∙> 代表分佈函數 ψ(u) 的平均，即

(3)

不過，對於如 Fig. 5.1(a) 的對稱橢球分子 (symmetric ellipsoidal molecules)，<u_α> 總是等於零，這是因為 u 和 -u 的狀態是相同的，因此 ψ(u) 有反轉對稱 ψ(u) = ψ(-u) (inversion symmetry)。

我們因此考慮二階矩 <u_αu_β > (second moment)，在均向相，

(4)

[註: 在均向相，<u_x²> = <u_y²> = <u_z²>，且 <u_xu_y> = <u_yu_z> = <u_zu_x> = 0，因此，<u_αu_β> 可寫成 <u_αu_β> = Aδ_αβ 。因為 u_x² + u_y² + u_z² = 1，A = 1/3]

在另一方面，如果 u 完全朝向 n 排列，

(5)

 因此我們考慮以下這個參數

(6)

Q_αβ 為張量有序參數 (tensor order parameter)，其代表向列相的分子方向有序程度 (orientational order of the molecules)。對於均向相，Q_αβ = 0；對於向列相， Q_αβ ≠ 0。

如果 u 的分佈沿軸 n 具單軸對稱 (uniaxial symmetry)，Q_αβ 可寫成

(7)

其中，S 是代表分子沿 n 排列的程度，如果排列是完美的 (alignment is perfect)，則 S = 1；如果沒有排列 (no alignment)，則 S = 0。因此，S 也代表向列相之有序程度 (degree of the order)，稱為純量有序參數 (scalar order parameter)。為了避免與 S 混淆，Q_αβ 常被稱為張量有序參數 (tensor order parameter)。

張量有序參數 Q_αβ 包含兩種訊息，一個表示分子排列的程度，以純量有序參數 S 表之；另一個表示分子排列的方向，以導向體 n 表之。透過 Eq. 6

(8)

等式的右側等於 (2/3)S (透過 Eq. 7)。因此，S 可以表示成

(9)

其物理意義同前述。

Reference: M Doi, Soft Matter Physics (Oxford University Press 2013).