牛頓流體之耗散函數 (Dissipation Function for Newtonian Fluids)

Revised: 2022/1/20

在所有流動系統，(- τ:▽v) 這個量描述機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)，有時被稱為黏性耗散生熱 (viscous dissipation heating)。此生熱可以造成高黏度、高速度梯度系統可觀的溫度上升。在直角座標中，(τ:▽v) 可表示成 

(C, Table A.7-1)

將下方 Eqs. B.1-1 至 B.1-6 (generalization of Newton's law of viscosity) 代入 Eq. C，同時使用 Eq. A，且令 (- τ:▽v) = μΦ_v + κΨ_v (μ 是黏度，κ 是膨脹黏度 (dilatational viscosity))

(A, Table A.7-1)

[註：牛頓流體的本質方程式如下方 Eq. 1.2-7 所示]

(1.2-7)

可得 dissipation function Φ_v

以及 Ψv

Ψ_v = (∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z)²     (1)

此外，對於牛頓流體，(- τ:▽v) 這個項恆為正，因為它可以寫成平方項的和

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).