Modified White-Metzner Model：拉伸黏度 (Elongational Viscosity Predicted by Modified White-Metzner Model)

Revised: 2021/12/28, 2022/4/1

恆溫下的 Modified White-Metzner model (mWM) 的本質方程式如 Eqs. 1–3，剪切黏度模型 Eq. 2 是 Carreau-Yasuda model (η_∞ = 0、K₁= a time constant for the fluid、II_d = γ̇ )

其中，II_d 是應變率張量的二階不變量 (second invariant of the rate of deformation tensor)，在剪切流場下，II_d 的值等於剪切率 γ̇ ，在單軸拉伸流場下，則等於 √3έ (έ 是拉伸應變率)。Table 1 是五支具有不同拉伸硬化程度的材料之參數，預測的剪切、拉伸黏度曲線如 Fig. 1 所示。

Modified White-Metzner model 於單軸拉伸流場的拉伸黏度解析解為

(4)

[註：Equation 4 的拉伸黏度解析解，與最下方 Table 8.3 的表示式，在數學上完全等價]

值得一提，Equation 3 是由 Barnes、Roberts (1992) 修正了鬆弛時間所得到的表示式，改善在較大 II_d 值時，Eq. 4 的拉伸黏度會趨於無限大甚至負值的問題。λ₀、K₂ 是與時間有關的常數，其值可透過拉伸黏度的擬合取得。分析 Eqs. 3、4，我們發現若能選擇合適的 λ₀、K₂，確保 2λ₀/√3K₂ 的值小於 1，即可保證即便在很高的 έ 下，拉伸黏度的值也能恆為正值且不為無窮大。

於剪切流場下，第一正向力差值為

(5)

材料 LDPE Escorene LD 165BW 1 的 N₁ 如 Fig. 2 所示。

Modified White-Metzner model 的優點包括，(i) 剪切、拉伸黏度具有解析解，簡化參數決定的過程；(ii) 能夠描述各種高分子材料的穩態剪切、拉伸黏度之行為；(iii) 在混合的剪切與拉伸流場，仍具穩定的數值解。

Figure 1 五支材料的剪切、拉伸黏度

Figure 2 LDPE Escorene LD 165BW 1 的第一正向力差值

[註]

References:

(1) M Zatlukal, J Musil, "Analysis of entry pressure drop techniques for extensional viscosity determination," Polym. Test. 28, 843 (2009).

(2) HA Barnes, GP Roberts, "A simple empirical model describing the steady-state shear and extensional viscosities of polymer melts," J. Non-Newtonian Fluid Mech. 44, 113 (1992).

(3) HA Barnes, JF Hutton, K Walters, An Introduction to Rheology (Elsevier 1989).