§7.1 巨觀的質量平衡 (The Macroscopic Mass Balance)

在 Fig. 7.0-1 所示的系統中，流體在平面 1 處進入系統 (橫截面 S₁)，並在平面 2 處離開 (橫截面 S₂)。入口平面的平均速度為 <v₁>，出口平面則為 <v₂>。在本節和以下各節中，我們介紹兩個不是很嚴格的假設：(i) 在平面 1 和 2，時間平滑的速度垂直於相關橫截面，並且 (ii) 在平面 1 和 2 處的密度和其他物理特性在橫截面上是均勻的。

這個系統的質量守恆定律是 (the law of conservation of mass)

這裡 m_tot = ∫ρdV 是平面 1 和平面 2 之間，系統中所含流體的總質量 (total mass)。我們現在引入符號 w = ρ<v>S 表示質量流量，以及符號 △w = w₂ - w₁ (出口值減入口值)。然後，非穩態巨觀質量平衡變成 (unsteady-state macroscopic mass balance)

如果流體的總質量不隨時間變化，那麼我們得到穩態巨觀質量平衡 (steady-state macroscopic mass balance)

這就是質量進入的速率等於質量離開的速率的陳述 (ρ₁<v₁>S₁ = ρ₂<v₂>S₂)。

對於巨觀質量平衡，我們使用術語「穩態」("steady state") 表示方程式 Eq. 7.1-2 左側的時間導數為零。在系統內，因為可能有可動零件 (moving parts)、流動不穩定性 (flow instabilities) 和紊流 (turbulence)，因此會有非穩態流動的區域。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§7.2 巨觀的動量平衡 (The Macroscopic Momentum Balance)

我們現在將動量守恆定律 (the law of conservation of momentum) 應用於 Fig. 7.0-1 中的系統，使用 與上一節中提到的相同的兩個假設，加上兩個額外的假設：(iii) 在平面 1 和 2 處，忽略與應力張量 τ 相關的力， 因為與入口和出口平面的壓力相比，它們通常很小，(iv) 壓力在入口和出口平面的橫截面上沒有變化。 

由於動量是一個向量，所以平衡式中的每一項都必須是一個向量。我們使用單位向量 u₁ 和 u₂ 來表示平面 1 和 2 處的流動方向。然後動量守恆可寫成

這裡，P_tot = ∫ρvdV 是系統中的總動量 (total momentum)。該等式說明，系統內的總動量因動量對流進、出系統而改變 (the convection of momentum)，也包括作用在系統上的各種力：壓力在系統兩端的力 (pressure forces)、固體表面作用在系統中流體的力 (the force of the solid surfaces)、以及作用在系統中壁內流體的重力 (the force of gravity)。下標 “s→f” 用於提醒力的方向。

透過引入質量流率的符號和符號 △，我們最終得到非穩態巨觀動量平衡 (unsteady-state macroscopic momentum balance)

如果系統中的總動量不隨時間變化，那麼我們得到穩態巨觀動量平衡 (steady-state macroscopic momentum balance)

我們再次強調這是一個向量方程式 (vector equation)。它對於計算流體作用於固體表面上的力 F_f→s 相當有用，例如作用於彎管 (pipe bend) 或渦輪葉片 (turbine blade) 的力。 事實上，我們已經在 Eq. 6.1-3 中使用了上述方程式的簡化版本。

關於紊流 (turbulent flow) 的注意事項：(i) 對於紊流，通常將 <v> 替換為 <v⁻>、<v²> 替換為 <v^{− 2}>；在後者中，我們忽略了通常很小的項 <v^'2 −> (相較於 <v^{− 2}>)。(ii) 然後我們進一步將 <v^{− 2}>/<v⁻> 替換為 <v⁻>，這樣做的誤差很小；對於 Eq. 5.1-4 的經驗 1/7 冪次律速度曲線，<v^{− 2}>/<v⁻> = 50<v⁻>/49，如此的誤差在 2% 左右。(iii) 當我們做出這個假設時，我們通常會刪除尖括號 (angular brackets) 和橫線 (overbars) 以簡化符號。也就是說，我們會讓 <v₁⁻> ≡ v₁、<v₁^{− 2}> ≡ v₁²，平面 2 的量也進行類似的簡化。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

壓力量測裝置 (Pressure-Measurement Devices)

(1) Static-Pressure Manometer

 

Point 1 的壓力為 p₁ = p = p_static = p_atm + ρgh_static

(2) Pitot Tube

Point 1 的壓力為 p₁ = p_stag = p_atm + ρgh_stag

(3) Pitot-Static Tube

Point 1 的壓力為 p₁ = p_static = p_atm + ρgh_static

Point 2 的壓力為 p₂ = p_stag = p_atm + ρgh_stag

[註：Points 1、2 的壓力並不相同，Point 1 是上游流體的壓力，Point 2 是下游流體的壓力，後者反應靜止點的壓力，它包括流體被 Pitot tube 尖端減速停止的貢獻]

其中，h_velocity 也被稱為 h_dynamic，<v> = <v>₁ 是 Point 1 的平均流速

Reference: FA Morrison, An Introduction to Fluid Mechanics (Cambridge 2013).

自然對數與對數作圖之斜率 (Slopes of ln-ln Plot & log-log plot)

Revised: 2022/2/25、3/16、10/7

ln-ln plot 和 log-log plot 是很多科學數據的呈現方式，以下以實例說明 ln-ln plot 和 log-log plot 之斜率特色。

表格中 x、y 數據可近似成 y = 0.1096x +11.111

(y vs. x 圖的斜率 0.1096)

Fig. 1

表格中 ln(x)、ln(y) 數據可近似成 ln(y) = 0.6901ln(x) + 0.088

故 ln(y) vs. ln(x) 圖的斜率 0.6901

Fig. 2

表格中 log(x)、log(y) 數據可近似成 log(y) = 0.6901log(x) + 0.0382

故 log(y) vs. log(x) 圖的斜率 0.6901，與 Fig. 2 斜率相同

Fig. 3

一、x 值乘以常數 3

表格中 ln(3x)、ln(y) 數據可近似成 ln(y) = 0.6901ln(3x) - 0.6702 (等同 ln(y) = 0.06901ln(x) + 0.088)

故 ln(y) vs. ln(3x) 圖的斜率 0.6901，與 Fig. 2 斜率相同

[註：dln(y)/dln(3x) = dln(y)/(dln(3) + dln(x)) = C，整理可得 dln(y)/dln(x) = C，Figs. 2、4 斜率均為 C]

Fig. 4

表格中 log(3x)、log(y) 數據可近似成 log(y) = 0.6901log(3x) - 0.2911 (等同 log(y) = 0.6901log(x) + 0.0382)

故 log(y) vs. log(3x) 圖的斜率 0.6901，與 Fig. 2 斜率相同

Fig. 5

二、x 值乘以常數 3，且 y 值乘以常數 4

表格中 ln(3x)、ln(4y) 數據可近似成 ln(4y) = 0.6901ln(3x) + 0.7161 (等同 ln(y) = 0.6901ln(x) + 0.088)

故 ln(4y) vs. ln(3x) 圖的斜率 0.6901，與 Fig. 2 斜率相同

Fig. 6

表格中 log(3x)、log(4y) 數據可近似成 log(4y) = 0.6901log(3x) + 0.311 (等同 log(y) = 0.6901log(x) + 0.0382)

故 ln(4y) vs. ln(3x) 圖的斜率 0.6901，與 Fig. 2 斜率相同

Fig. 7

三、結論

(1) 對於同樣的數據，ln-ln 作圖 與 log-log 作圖的斜率相同 (Fig. 2 vs. Fig. 3)。

(2) ln-ln 作圖 與 log-log 作圖的斜率，不因 x、y 值乘以常數後而改變斜率 (Fig. 2 vs. Fig. 4 vs. Fig. 6 或 Fig. 3 vs. Fig. 5 vs. Fig. 7)。

[補充]

今有 Y vs. X 數據如下，試比較下方兩種繪圖 (1) ln(Y) vs. X、(2) log(Y) vs. X。

<解>

隨著 X 值增加，曲線均呈單調遞增且開口朝上。但是在固定 X 值下，第二種作圖 (藍色) 的斜率值較較小。

X            Y

0 367636765.2

2 488429357.9

4 653706842

6 881634852.7

8 1198537506

10 1642901534

12 2271516966

14 3168988571

16 4462621430

18 6345968764

20 9116501378

22 13236572214

24 19433283712

26 28864159422

28 43395617491

30 66077516211

32 1.01963E+11

34 1.5955E+11

36 2.53344E+11

38 4.08508E+11

40 6.69432E+11

42 1.11581E+12

44 1.89337E+12

46 3.27389E+12

48 5.77451E+12

50 1.04008E+13

52 1.91531E+13

54 3.61058E+13

56 6.97721E+13

58 1.38419E+14

60 2.82368E+14

62 5.9333E+14

64 1.28663E+15

66 2.88524E+15

68 6.70568E+15

70 1.61918E+16

72 4.0728E+16

74 1.07028E+17

76 2.94778E+17

78 8.53904E+17

80 2.61168E+18

等效入口長度修正改善拉伸黏度預測 (Effective Entry Length Correction to Improve the Determination of Extensional Viscosity)

Revised: 2022/3/18

對於拉伸硬化的材料 (M1 material)，由 Fig. 4 可知，表觀入口黏度  η_ENT (apparent entrance viscosity) 受到 L/D 值的影響。

若以 L/D = 0 對應的 η_ENT 數據為例 (η_ENT = P₀/γ̇ _app)，透過 Cogswell、Binding、Gibson models 得到的拉伸黏度如 Fig. 6 所示。可以發現在低拉伸率下，Cogswell、Binding models 得到的拉伸黏度，明顯不符合牛頓流體 Trouton ratio 等於 3 的預期。 

於是，Zatlukal et al. 提出等效入口長度修正的概念 (effective entry length correction)，改善上述三種 models 對低拉伸率下拉伸黏度的預測。以各個 models 在牛頓區間對 Trouton ratio 之預測均要回歸到 3 的概念，Zatlukal et al. 得到個別 model 理論上應對應的 L/D ratio (整理於 Table 5)。

這些特定 (L/D)_Tr 值所得到的拉伸黏度如 Fig. 8 所示。我們發現三種 models 在低拉伸率下，可以預測相同的拉伸黏度平台 (plateau)，且 Trouton ratio 等於 3。因此，相較於 Fig. 6，三種 models 對拉伸黏度的預測可以得到改善。

比較理論 (modified White-Metzner A model) 與模擬計算的拉伸黏度，我們可以由 Fig. 8 的比較結果得知，(i) 對於拉伸硬化的材料 (extensional hardening material, M1)，Cogswell model 高估在高拉伸率下的黏度，Binding model 高估低拉伸率下的黏度，而Gibson model 無法適當描述拉伸黏度的過衝 (overshoot)；(ii) 對於拉伸軟化的材料 (extensional softening material, M3)，三種模型得到類似的結果，它們的預測接近且斜率合理。

實驗室常用的商業化孔口模具為 L/D = 0.2 (orifice die)，因此，下方的 Figs. S1、S2 分別針對上述拉伸硬化 (M1) 及拉伸軟化材料 (M3)， 進行 L/D = 0.2 vs. (L/D)_Tr 之比較，藉以了解等效入口長度修正之效應。由於 Binding model 的理論 (L/D)_Tr 值 (= 0.1839) 相當接近實際模具的 L/D 值 (= 0.2)，故毋需進行長度的修正，然而，對於 Cogswell、Gibson models，長度的修正有其必要性。

Figure S1 拉伸硬化材料 (M1) 之 L/D = 0.2 vs. (L/D)_Tr。

Figure S2 拉伸軟化材料 (M3) 之 L/D = 0.2 vs. (L/D)_Tr。

Reference: M Zatlukal et al., "Improvement in techniques for the determination of extensional rheological data from entrance flows: Computational and experimental analysis," J. Non-Newtonian Fluid Mech. 107, 13 (2002).