§7.2 巨觀的動量平衡 (The Macroscopic Momentum Balance)

我們現在將動量守恆定律 (the law of conservation of momentum) 應用於 Fig. 7.0-1 中的系統，使用 與上一節中提到的相同的兩個假設，加上兩個額外的假設：(iii) 在平面 1 和 2 處，忽略與應力張量 τ 相關的力， 因為與入口和出口平面的壓力相比，它們通常很小，(iv) 壓力在入口和出口平面的橫截面上沒有變化。 

由於動量是一個向量，所以平衡式中的每一項都必須是一個向量。我們使用單位向量 u₁ 和 u₂ 來表示平面 1 和 2 處的流動方向。然後動量守恆可寫成

這裡，P_tot = ∫ρvdV 是系統中的總動量 (total momentum)。該等式說明，系統內的總動量因動量對流進、出系統而改變 (the convection of momentum)，也包括作用在系統上的各種力：壓力在系統兩端的力 (pressure forces)、固體表面作用在系統中流體的力 (the force of the solid surfaces)、以及作用在系統中壁內流體的重力 (the force of gravity)。下標 “s→f” 用於提醒力的方向。

透過引入質量流率的符號和符號 △，我們最終得到非穩態巨觀動量平衡 (unsteady-state macroscopic momentum balance)

如果系統中的總動量不隨時間變化，那麼我們得到穩態巨觀動量平衡 (steady-state macroscopic momentum balance)

我們再次強調這是一個向量方程式 (vector equation)。它對於計算流體作用於固體表面上的力 F_f→s 相當有用，例如作用於彎管 (pipe bend) 或渦輪葉片 (turbine blade) 的力。 事實上，我們已經在 Eq. 6.1-3 中使用了上述方程式的簡化版本。

關於紊流 (turbulent flow) 的注意事項：(i) 對於紊流，通常將 <v> 替換為 <v⁻>、<v²> 替換為 <v^{− 2}>；在後者中，我們忽略了通常很小的項 <v^'2 −> (相較於 <v^{− 2}>)。(ii) 然後我們進一步將 <v^{− 2}>/<v⁻> 替換為 <v⁻>，這樣做的誤差很小；對於 Eq. 5.1-4 的經驗 1/7 冪次律速度曲線，<v^{− 2}>/<v⁻> = 50<v⁻>/49，如此的誤差在 2% 左右。(iii) 當我們做出這個假設時，我們通常會刪除尖括號 (angular brackets) 和橫線 (overbars) 以簡化符號。也就是說，我們會讓 <v₁⁻> ≡ v₁、<v₁^{− 2}> ≡ v₁²，平面 2 的量也進行類似的簡化。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).