Power-Law 流體於微漸縮管子之流動 (Flow of a Power-Law Fluid in a Slightly Tapered Tube)

Revised: 2022/3/11

根據潤滑近似 (lubrication approximation)，解微漸縮管子 (slightly tapered tube) 之流動所使用的動量方程式，和解直管子 (straight circular tube) 之流動相同，即

(1)

這表示，速度的解是相同的，可以被用於管子中的各個位置 z，將 R 以 R(z) 取代後可得

(2)

R(z) 可以從簡單的幾何得知

(3)

體積流率為

(4)

這個方程式指出壓力的一階微分方程式

(5)

積分後可得 (p = p₀ at z = 0 and p = p_L at z = L)

(6)

在此要注意的是，Eq. 6 只是一個近似的結果，原因在於忽略管中流體在 r 方向的速度分量所致。由於流體在微漸縮管子的流動是二維問題，理論上並無法以解析式表示，必須以數值方法來解 (例如，有限元素法)。若將 Eq. 6 與有限元素法所分析而得的降力降作比較，發現在 θ 小於 15^o 範圍內，Eq. 6 所預測的壓力降極為接近。因此，我們即可利用此一簡單的近似公式來預測高分子流體的壓力降。

References:

(1) TA Osswald, JP Hernández-Ortiz, Polymer Processing: Modeling and Simulation (Hanser 2006).

(2) 劉士榮，高分子流變學  (第二版；滄海 2005)。